Olimpíadas

Encontre o número de inteiros [tex3]n[/tex3] tais que

[tex3]1000< n<8000[/tex3]
[tex3]n^{n+1}+(n+1)^{n}[/tex3] é divisível por [tex3]3[/tex3] .

Logo de cara, percebemos que números da forma [tex3]n=3k[/tex3] e da forma [tex3]n=3k+2[/tex3] não satisfazem. Isso porque temos
no primeiro caso:
[tex3](3k)^{3k+1}+(3k+1)^{3k}[/tex3] . A primeira parcela é divisível por 3 mas a segunda não.
no segundo caso:
[tex3](3k+2)^{3k+3}+(3k+3)^{3k+2}[/tex3] . A segunda parcela é divisível por 3 mas a segunda não.
Então [tex3]n=3k+1[/tex3] .

Note que [tex3]n=3k+1[/tex3] deixa resto 1 na divisão por 3. Você sabe, pelo teorema do resto, que [tex3]n^2[/tex3] vai deixar resto [tex3]1^2[/tex3] , e assim por diante, então [tex3]n^{n+1}[/tex3] deixa resto [tex3]1^{n+1}=1[/tex3] na divisão por 3.

Note que [tex3]n+1=3k+2[/tex3] deixa resto 2 na divisão por 3. Analogamente, [tex3](n+1)^n[/tex3] deixa resto [tex3]2^n=2^{3k+1}[/tex3] na divisão por 3.

Pelo mesmo teorema do resto, você sabe que o resto que vai deixar [tex3]n^{n+1}+(n+1)^n[/tex3] é o mesmo de [tex3]1+2^{n}=1+2^{3k+1}[/tex3]

Isso só vai ser divisível por 3 se [tex3]2^{3k+1}[/tex3] deixar resto 2 na divisão por 3. E quando que isso ocorre? Basta analisar potências de 2:
2^1 -> 2
2^2 -> 1
2^3 -> 2
2^4 -> 1
É fácil ver que deixa resto 2 quando a potência é ímpar.
Então precisamos ter [tex3]3k+1[/tex3] ímpar. Isso só ocorre para k par, então [tex3]k=2p[/tex3]

Segue que [tex3]n=3(2p)+1=6p+1[/tex3]

Basta contar quantos números da forma 6p+1 existem no intervalo dado. O primeiro é 1003, o último é 7999. Temos a progressão aritmetica:
[tex3]1003, 1009, ..., 7999[/tex3]
Da fórmula do termo geral, [tex3]a_{n}=a_1+r(n-1) \rightarrow 7999=1003+6(n-1) \rightarrow n=1167[/tex3]

1167 números

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