Olimpíadas ⇒ (Cone Sul 1996) Teoria dos Números Tópico resolvido

[goncalves3718]

Provar que o número [tex3]\frac{1995\cdot 1997^{1996}-1996\cdot 1997^{1995}+1}{1996^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1995\cdot 1997^{1996}-1996\cdot 1997^{1995}+1}{1996^{2}}[/tex3]

é inteiro.

[undefinied3]

[tex3]n=1996[/tex3]

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[tex3]n=1996[/tex3]

[tex3]\frac{(n-1)(n+1)^n-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}=\frac{(n^2-1)(n+1)^{n-1}-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(n-1)(n+1)^n-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}=\frac{(n^2-1)(n+1)^{n-1}-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}[/tex3]

[tex3]\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}(n+1)-1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}(n+1)-1}{n^2}[/tex3]

[tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^n-1}{n^2}[/tex3]

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[tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^n-1}{n^2}[/tex3]

Então aquela fração é inteira. E eu lhe afirmo que independe de n. Ora, [tex3](n+1)^n-1=(n+1)^n-1^n=(n+1-1)((n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+...+1)=n.(...)[/tex3]

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[tex3](n+1)^n-1=(n+1)^n-1^n=(n+1-1)((n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+...+1)=n.(...)[/tex3]

Ainda precisamos extrair mais um fator n daquilo ali.

[tex3](n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+...+(n+1)+1[/tex3]

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[tex3](n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+...+(n+1)+1[/tex3]

Note que são n-1 parcelas que contém fator (n+1). Então vamos somar e subtrair n-1:
[tex3](n+1)^{n-1}+...+(n+1)+1+(n-1)-(n-1)[/tex3]

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[tex3](n+1)^{n-1}+...+(n+1)+1+(n-1)-(n-1)[/tex3]

Mas vamos distribuir esse [tex3]-(n-1)[/tex3]

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[tex3]-(n-1)[/tex3]

como um [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

para cada parcela com [tex3]n+1[/tex3]

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[tex3]n+1[/tex3]

:
[tex3][(n+1)^{n-1}-1+(n+1)^{n-2}-1+...+(n+1)-1]+1+(n-1)[/tex3]

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[tex3][(n+1)^{n-1}-1+(n+1)^{n-2}-1+...+(n+1)-1]+1+(n-1)[/tex3]

Da mesma fatoração utilizada acima, sabemos que [tex3](n+1)^k-1=n(...)[/tex3]

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[tex3](n+1)^k-1=n(...)[/tex3]

, de modo que ficamos com:
[tex3][n(...)+n(...)+...+n]+1+(n-1)=n(...)[/tex3]

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[tex3][n(...)+n(...)+...+n]+1+(n-1)=n(...)[/tex3]

Segue que [tex3](n+1)^n-1 = n^2(...)[/tex3]

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[tex3](n+1)^n-1 = n^2(...)[/tex3]

, sendo [tex3](...)[/tex3]

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[tex3](...)[/tex3]

algo com certeza inteiro.

Então [tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^n-1}{n^2}=(n+1)^{n-1}-(...)[/tex3]

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[tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^n-1}{n^2}=(n+1)^{n-1}-(...)[/tex3]

, que é inteiro.

[goncalves3718]

Poderia me explicar passo a passo a passagem de como [tex3]\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}[/tex3]

virou [tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}(n+1)-1}{n^2}[/tex3]

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[tex3](n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}(n+1)-1}{n^2}[/tex3]

?

[rodBR]

Vc só precisava fazer a distributiva para ver oq aconteceu...:
[tex3]E=\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}\\
E=\frac{n^2(n+1)^{n-1}-(n+1)^{n-1}-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}\\
E=\frac{\cancel{n}^2(n+1)^{n-1}}{\cancel n^2}-\frac{(n+1)^{n-1}}{n^2}-\frac{n(n+1)^{n-1}}{n^2}+\frac{1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}+n(n+1)^{n-1}-1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}\cdot \(1+n\)-1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}\cdot \(n+1\)-1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]E=\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}\\
E=\frac{n^2(n+1)^{n-1}-(n+1)^{n-1}-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}\\
E=\frac{\cancel{n}^2(n+1)^{n-1}}{\cancel n^2}-\frac{(n+1)^{n-1}}{n^2}-\frac{n(n+1)^{n-1}}{n^2}+\frac{1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}+n(n+1)^{n-1}-1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}\cdot \(1+n\)-1}{n^2}\\
E=(n+1)^{n-1}-\frac{(n+1)^{n-1}\cdot \(n+1\)-1}{n^2}[/tex3]