Olimpíadas ⇒ (POTI) - Divisibilidade Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja [tex3]S=1+z+z^{2}+z^{3}+...+z^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=1+z+z^{2}+z^{3}+...+z^{n-1}[/tex3]

. Veja que [tex3]S+z^{n}=1+zS[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S+z^{n}=1+zS[/tex3]

( Me expliquem o porquê ), então [tex3]S(z-1)=z^{n}-1[/tex3]

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[tex3]S(z-1)=z^{n}-1[/tex3]

Conclua que, para quaisquer [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

, vale:

[tex3]x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+...+x^{2}y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+...+x^{2}y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

A dica que o exercício dá é para trocar [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

por [tex3]\frac{x}{y}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{y}[/tex3]

, mas não entendi o porquê também!

[baltuilhe]

Boa noite!

S original:
[tex3]S=1+z+z^2+z^3+\ldots+z^{n-1}[/tex3]

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[tex3]S=1+z+z^2+z^3+\ldots+z^{n-1}[/tex3]

Multiplique tudo por z:
[tex3]zS=z+z^2+z^3+\ldots+z^n[/tex3]

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[tex3]zS=z+z^2+z^3+\ldots+z^n[/tex3]

Veja que a primeira sequência não tem [tex3]z^n[/tex3]

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[tex3]z^n[/tex3]

e a última não tem 1. Portanto:
[tex3]1+zS=S+z^n\\
zS-S=z^n-1\\
S(z-1)=z^n-1[/tex3]

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[tex3]1+zS=S+z^n\\
zS-S=z^n-1\\
S(z-1)=z^n-1[/tex3]

Entendeu?

Agora:
[tex3]z=\dfrac{x}{y}\\
z^n-1=S(z-1)=(1+z+z^2+z^3+\ldots+z^{n-1})(z-1)\\
\left(\dfrac{x}{y}\right)^n-1=\left(1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x^2}{y^2}+\ldots+\dfrac{x^{n-1}}{y^{n-1}}\right)\cdot\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)-1\right)\\
\dfrac{x^n-y^n}{y^n}=\dfrac{y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}}{y^{n-1}}\cdot\dfrac{x-y}{y}\\
\dfrac{x^n-y^n}{y^n}=\dfrac{\left(y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}\right)\cdot\left(x-y\right)}{y^n}\\
x^n-y^n=\left(y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}\right)\cdot\left(x-y\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\dfrac{x}{y}\\
z^n-1=S(z-1)=(1+z+z^2+z^3+\ldots+z^{n-1})(z-1)\\
\left(\dfrac{x}{y}\right)^n-1=\left(1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x^2}{y^2}+\ldots+\dfrac{x^{n-1}}{y^{n-1}}\right)\cdot\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)-1\right)\\
\dfrac{x^n-y^n}{y^n}=\dfrac{y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}}{y^{n-1}}\cdot\dfrac{x-y}{y}\\
\dfrac{x^n-y^n}{y^n}=\dfrac{\left(y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}\right)\cdot\left(x-y\right)}{y^n}\\
x^n-y^n=\left(y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-3}+\ldots+x^{n-1}\right)\cdot\left(x-y\right)[/tex3]

Feito?

[goncalves3718]

Agora me ajude a demonstrar que se [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

é ímpar vale:

[tex3]x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...+x^{2}y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...+x^{2}y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

[baltuilhe]

Boa noite!

Pode substituir.
[tex3]x^n-k^n=\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n-k^n=\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Fazendo-se k=-y:

Para n par, não irá alterar.
Para n ímpar:
[tex3]x^n+y^n=\left(x+y\right)\cdot\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\ldots+x^2y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n+y^n=\left(x+y\right)\cdot\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\ldots+x^2y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Espero ter ajudado!

[goncalves3718]

Não entendi o fato de n ser ímpar, porque a primeira expressão é só para n pares?

[baltuilhe]

Não entendi o fato de n ser ímpar, porque a primeira expressão é só para n pares?

Vou melhorar a resposta:

Para podermos ter na resposta o mesmo 'y', substitui inicialmente por k, tudo bem?
[tex3]x^n-k^n=\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n-k^n=\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Fazendo-se k=-y:

Para n par:
[tex3]\left(-y\right)^n=y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-y\right)^n=y^n[/tex3]

Então:
[tex3]x^n-k^n=x^n-\left(-y\right)^n=x^n-y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n-k^n=x^n-\left(-y\right)^n=x^n-y^n[/tex3]

Para n ímpar:
[tex3]\left(-y\right)^n=-y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-y\right)^n=-y^n[/tex3]

Então:
[tex3]x^n-k^n=x^n-\left(-y\right)^n=x^n-\left(-y^n\right)=x^n+y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n-k^n=x^n-\left(-y\right)^n=x^n-\left(-y^n\right)=x^n+y^n[/tex3]

Agora, desenvolvendo-se o outro lado da igualdade:
[tex3]\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)\\
\left(x-\left(-y\right)\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}\left(-y\right)+x^{n-3}\left(-y\right)^2+\ldots+x^2\left(-y\right)^{n-3}+x\left(-y\right)^{n-2}+\left(-y\right)^{n-1}\right)\\
\left(x+y\right)\cdot\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\ldots+x^2y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)\\
\left(x-\left(-y\right)\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}\left(-y\right)+x^{n-3}\left(-y\right)^2+\ldots+x^2\left(-y\right)^{n-3}+x\left(-y\right)^{n-2}+\left(-y\right)^{n-1}\right)\\
\left(x+y\right)\cdot\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\ldots+x^2y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Na última linha tínhamos:
n-p ==> ímpar, onde r é um número par qualquer
n-i ==> par, onde i é um número ímpar qualquer

Espero ter ajudado!