Olimpíadas

Prove que, para cada [tex3]n[/tex3] natural, [tex3](n+1)(n+2)...(2n)[/tex3] é divisível por [tex3]2^{n}[/tex3] [/tex3]

Vamos provar por indução.

Base: [tex3]n=1[/tex3]
[tex3](n+1)=1+1=2[/tex3] e [tex3]2[/tex3] é divisível por [tex3]2^1[/tex3] , então a proposição vale para [tex3]n=1[/tex3] .

Hipótese de indução: Suponha que a proposição é válida para [tex3]n=k[/tex3] , ou seja,
[tex3](k+1)(k+2)...(2k)=m\cdot2^k[/tex3] em que [tex3]m\in\mathbb Z[/tex3]

Passo: Quero provar que vale para [tex3]n=k+1[/tex3]
[tex3]((k+1)+1)((k+1)+2)...(2k+2)=\\(k+2)(k+3)...(2k)(2k+1)(2k+2)=\\(k+2)(k+3)...(2k)(2k+1)2(k+1)=\\ [(k+1)(k+2)...(2k)][(2k+1)2][/tex3]
Pela hipótese de indução temos
[tex3][(k+1)(k+2)...(2k)][(2k+1)2]=\\m\cdot2^k\cdot(2k+1\cdot)2=\\m\cdot(2k+1)\cdot2^{k+1}[/tex3]
[tex3]m\cdot(2k+1)\in\mathbb Z[/tex3] e portanto temos que a proposição vale para [tex3]n=k+1[/tex3]

Dessa forma, provamos pelo princípio da indução finita que para cada natural [tex3]n[/tex3] [tex3](n+1)(n+2)...(2n)[/tex3] é divisível por [tex3]2^n[/tex3]

Espero ter ajudado

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