Olimpíadas(POTI) Contagem II Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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leo890
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(POTI) Contagem II

Mensagem não lida por leo890 »

Problema 10. Em uma festa havia 6 homens e 4 mulheres. De quantos modos podemos
formar 3 pares como essas pessoas?
RES:
Resposta

[tex3]\frac{(6 × 5 × 4) × (4 × 3 × 2)}{3!}[/tex3]




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MateusQqMD
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Jan 2020 17 02:17

Re: (POTI) Contagem II

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, leo890

Deixarei duas soluções para esse problema.

1ª Solução:

Podemos escolher de [tex3]C_6^3 = 20[/tex3] modos os três homens e de [tex3]C_4^3 = 4[/tex3] modos as três mulheres.

Agora, perceba que será estabelecida uma relação bijetiva entre os homens e as mulheres, isso pode ser feito de [tex3]3![/tex3] modos.

A resposta é [tex3]20 \times 4 \times 3! = 480.[/tex3]



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MateusQqMD
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Jan 2020 17 02:18

Re: (POTI) Contagem II

Mensagem não lida por MateusQqMD »

2ª Solução:

Há [tex3]6[/tex3] modos de escolher o homem que formará o primeiro par; depois disso, teremos [tex3]5[/tex3] modos de escolher o homem que formará o segundo par e, em seguida, [tex3]4[/tex3] modos de escolher o homem que formará o terceiro par. De maneira análoga, teremos [tex3]4[/tex3] modos de escolher a mulher do primeiro par, .. etc. Entretanto, consideramos a divisão [tex3]ab/cd/ef[/tex3] como sendo diferente da divisão [tex3]cd/ef/ab,[/tex3] isto é, cada divisão foi contada [tex3]3![/tex3] vezes.

A resposta é [tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]


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leo890
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Re: (POTI) Contagem II

Mensagem não lida por leo890 »

MateusQqMD escreveu:
Sex 17 Jan, 2020 02:18
2ª Solução:

Há [tex3]6[/tex3] modos de escolher o homem que formará o primeiro par; depois disso, teremos [tex3]5[/tex3] modos de escolher o homem que formará o segundo par e, em seguida, [tex3]4[/tex3] modos de escolher o homem que formará o terceiro par. De maneira análoga, teremos [tex3]4[/tex3] modos de escolher a mulher do primeiro par, .. etc. Entretanto, consideramos a divisão [tex3]ab/cd/ef[/tex3] como sendo diferente da divisão [tex3]cd/ef/ab,[/tex3] isto é, cada divisão foi contada [tex3]3![/tex3] vezes.

A resposta é [tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]
Muito obrigado pela atenção! :D




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