Olimpíadas ⇒ IMO - Equação Diofantina Tópico resolvido

[Hanon]

Encontre todos os pares [tex3](a, b)[/tex3]

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[tex3](a, b)[/tex3]

de números inteiros positivos que satisfazem a equação:
[tex3]a^{b^2}=b^a[/tex3]

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[tex3]a^{b^2}=b^a[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá Hanon, assim que eu tiver um tempinho retorno para resolver esta questão

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Sejam [tex3]a=p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{n
}^{\alpha _{n}}[/tex3]

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[tex3]a=p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{n
}^{\alpha _{n}}[/tex3]

e [tex3]b=p_{1}^{\beta _{1}}...p_{n}^{\beta _{n}}[/tex3]

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[tex3]b=p_{1}^{\beta _{1}}...p_{n}^{\beta _{n}}[/tex3]

as fatorações de a e b em primos. Os primos [tex3]p_{i}[/tex3]

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[tex3]p_{i}[/tex3]

são a união dos primos que dividem esses números, então alguns expoentes [tex3]\alpha _{i}[/tex3]

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[tex3]\alpha _{i}[/tex3]

e [tex3]\beta _{i}[/tex3]

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[tex3]\beta _{i}[/tex3]

podem ser nulos, porém não os dois expoentes para o mesmo [tex3]p_{i}[/tex3]

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[tex3]p_{i}[/tex3]

.

De [tex3]a^{b^2}=b^a[/tex3]

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[tex3]a^{b^2}=b^a[/tex3]

temos [tex3]b^2\alpha _{i}=a\beta _{i}[/tex3]

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[tex3]b^2\alpha _{i}=a\beta _{i}[/tex3]

implicando [tex3]\frac{\alpha _{i}}{\beta _{i}}=\frac{a}{b^2}=\frac{p}{q}[/tex3]

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[tex3]\frac{\alpha _{i}}{\beta _{i}}=\frac{a}{b^2}=\frac{p}{q}[/tex3]

para p e q primos entre si. Assim, podemos considerar o número [tex3]x=p_{1}^{\frac{\alpha _{1}}{p}}...p_{n}^{\frac{\alpha _{n}}{p}}[/tex3]

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[tex3]x=p_{1}^{\frac{\alpha _{1}}{p}}...p_{n}^{\frac{\alpha _{n}}{p}}[/tex3]

e escrever [tex3]a=x^p \ e \ b=x^q[/tex3]

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[tex3]a=x^p \ e \ b=x^q[/tex3]

. Se x = 1 temos a solução ( a , b ) = ( 1 , 1 ).

Se x > 1 , então [tex3]x^{px^{2q}}=x^{qx^{p}}→px^{2q}=qx^p[/tex3]

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[tex3]x^{px^{2q}}=x^{qx^{p}}→px^{2q}=qx^p[/tex3]

. Dessa expressão podemos concluir que p ≠ q e nos resta duas possibilidades:

I - Se p < q

Temos [tex3]\frac{q}{p}=x^{2q-p}[/tex3]

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[tex3]\frac{q}{p}=x^{2q-p}[/tex3]

, utilizando uma variável auxiliar y = 2q - p ≥ 0 temos [tex3]q=x^yp \ e \ x^y=x^{(2x^y-1)p}→y=(2x^y-1)p.[/tex3]

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[tex3]q=x^yp \ e \ x^y=x^{(2x^y-1)p}→y=(2x^y-1)p.[/tex3]

Mas, [tex3]2x^y-1>y[/tex3]

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[tex3]2x^y-1>y[/tex3]

para x ≥ 2 e y ≥ 1. Logo não existe soluções com p < q.

I I - Se p > q.

Temos [tex3]x^{2q} < x^p →2q < p[/tex3]

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[tex3]x^{2q} < x^p →2q < p[/tex3]

. Logo [tex3]p=x^{p-2q}q→q|p [/tex3]

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[tex3]p=x^{p-2q}q→q|p [/tex3]

e mdc ( q , p ) = 1 → q = 1. Então [tex3]p=x^{p-2}[/tex3]

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[tex3]p=x^{p-2}[/tex3]

. Vamos considerar y = p - 2 ≥ 1. Temos [tex3]y+2 ≥ x^y > y + 2[/tex3]

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[tex3]y+2 ≥ x^y > y + 2[/tex3]

para y ≥ 3. Agora basta testar y = 1 e y = 2.

Para y = 1 , temos que q = 1 , x = p = 3 e temos o seguinte par ( a , b ) = ( 27 , 3 ) , ou seja , solução da equação dada.

Para y = 2 , resulta q = 1 , x = 2 , p = 4 e chegamos ao par ( a , b ) = ( 16 , 2 ) que também é solução da equação dada.

Portanto, as soluções para ( a , b ) são ( 1 , 1 ) , ( 16 , 2 ) e ( 27 , 3 ).



Bons estudos!

[Hanon]

Muito obrigado Cardoso1979!

[Cardoso1979]

Muito obrigado Cardoso1979!

Disponha