OlimpíadasDivisibilidade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Jan 2020 16 23:39

Divisibilidade

Mensagem não lida por Hanon »

Encontre todos os inteiros positivos [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]3^{n-1}+5^{n-1}[/tex3] divide [tex3]3^n+5^n[/tex3]




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undefinied3
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Re: Divisibilidade

Mensagem não lida por undefinied3 »

Se n=1, [tex3]1+1|3+5 \rightarrow 2|8[/tex3] É solução
Se n=2, [tex3]8|34[/tex3] Não é solução

Suponha que a divisão exista e resulte no inteiro k, com n>2. Então:

[tex3]3^n+5^n=k(3^{n-1}+5^{n-1})[/tex3]

Aplicando modulo 3:

[tex3]2^n \equiv 2^{n-1}k \ (mod \ 3)[/tex3]

Como [tex3]mdc(2^{n-1},3)=1[/tex3] , vale o corte:
[tex3]k \equiv 2 \ (mod \ 3)[/tex3]

Aplicando modulo 5:

[tex3]3^n \equiv k3^{n-1} \rightarrow k \equiv 3 \ (mod \ 5)[/tex3]

Então [tex3]k=15u+8[/tex3]

[tex3]3^n+5^n=(15u+8)(3^{n-1}+5^{n-1})=15u(3^{n-1}+5^{n-1})+(3+5)(3^{n-1}+5^{n-1})[/tex3]
[tex3]3^n+5^n=15u(3^{n-1}+5^{n-1})+3^n+3.5^{n-1}+5.3^{n-1}+5^{n}[/tex3]
[tex3]15u(3^{n-1}+5^{n-1})+15(3^{n-2}+5^{n-2})=0[/tex3]

O que é impossível, pois o lado esquerdo é sempre positivo.

Então a única solução é para n=1.



Uma outra maneira com recursos não limitados ao ensino médio:

[tex3]\frac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}=\frac{5^{n-1}(3.\frac{3^{n-1}}{5^{n-1}}+5)}{5^{n-1}(\frac{3^{n-1}}{5^{n-1}}+1)}[/tex3]
Passando o limite para n infinito, vemos que o resultado é 5. Então [tex3]\frac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}} < 5[/tex3] . Se, para n=1, a fração resulta em 4, não há outro inteiro entre 4 e 5 para a fração ser inteira. Logo n=1 é solução única



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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