Determine todos os números inteiros [tex3]n> 1[/tex3]
tal que
[tex3]\frac{2^n+1}{n^2}[/tex3]
Seja inteiro.
Olimpíadas ⇒ IMO 1990 Divisibilidade Tópico resolvido
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Hanon 
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18
00:45
IMO 1990 Divisibilidade
Última edição: Hanon (Qua 18 Dez, 2019 00:46). Total de 1 vez.
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Cardoso1979 
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Dez 2019
18
13:21
Re: IMO 1990 Divisibilidade
Observe
Uma solução:
Perceba que n = 1 é uma solução. Suponhamos agora que n > 1.
Seja [tex3]n=p_{1}^{\alpha _{1} }•p_{2}^{\alpha _{2} }•...•p_{k}^{\alpha _{k} }[/tex3] , com [tex3]p_{1} < p_{2} < ...< p_{k}[/tex3] .
Vamos encontrar [tex3]p_{1}[/tex3] . Note que como n²|( 2 [tex3]^{n}[/tex3] + 1 ) , [tex3]p_{1}|(2^n + 1 )[/tex3] ⟺ [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{1})→2^{2n}≡1(mód. p_{1})[/tex3] .
Seja [tex3]d_{1}=ord_{p_{1}}2[/tex3] . Então [tex3]d_{1}|2n[/tex3] , [tex3]d_{1}[/tex3] não duvide n e [tex3]d_{1}|(p_{1}-1)[/tex3] . Logo [tex3]d_{1}|[ mdc (2n \ , \ p_{1}-1)][/tex3] . Porém, note que [tex3]p_{1}-1[/tex3] é menor do que qualquer fator primo de n, de modo que não pode ter divisores comuns com n. Portanto, [tex3][mdc (2n \ , \ p_{1}-1)]|2[/tex3] , e temos [tex3]d_{1}|2→2^2≡1(mód.p_{1})→p_{1}=3[/tex3]
Como 3||( 2 + 1 ) e [tex3]3^{\alpha _{1}}||n[/tex3] , do lema de Hensel temos que [tex3]3^{1+\alpha _{1}}||(2^n + 1)[/tex3] . Mas [tex3]3^{2\alpha }||n^2[/tex3] , logo [tex3]2\alpha _{1}≤1+\alpha _{1}→\alpha _{1}=1[/tex3] .
Perceba que não há contradição, então encontremos [tex3]p_{2}[/tex3] . Novamente, [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{2}) \ e \ 2^{2n}≡1(mód. p_{2})[/tex3] .
Seja [tex3]n_{2}=n/3=p_{2}^{\alpha _{2}}•...•p
_{k}^{\alpha _{k}}[/tex3] e [tex3]d_{2}=ord_{p_{2}}2[/tex3] . Logo [tex3]d_{2}|6n_{2}[/tex3] , [tex3]d_{2}[/tex3] não divide [tex3]3n_{2}[/tex3] e [tex3]d_{2}|(p_{2}-1)[/tex3] .
Como todos os divisores primos de [tex3]n_{2}[/tex3] são maiores do que [tex3]p_{2}-1[/tex3] , [tex3]d_{2}|6[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3. Assim, [tex3]2^{6}≡1(mód. p_{2})→p_{2}=7.[/tex3] O que é uma contradição pois [tex3]d_{2}=ord_{7}2=3[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3.
Portanto, não há [tex3]p_{2}[/tex3] ( e primos maiores também ) , e as únicas soluções são n = 1 e n = 3.
Nota
Lema de Hensel
Sejam p um número primo e [tex3]\alpha[/tex3] > 0.
I - Se n é ímpar, [tex3]p^{\alpha }||(a+1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}+1)[/tex3] .
II - Se [tex3]p^{\alpha }||(a-1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}-1)[/tex3] .
Bons estudos!
Uma solução:
Perceba que n = 1 é uma solução. Suponhamos agora que n > 1.
Seja [tex3]n=p_{1}^{\alpha _{1} }•p_{2}^{\alpha _{2} }•...•p_{k}^{\alpha _{k} }[/tex3] , com [tex3]p_{1} < p_{2} < ...< p_{k}[/tex3] .
Vamos encontrar [tex3]p_{1}[/tex3] . Note que como n²|( 2 [tex3]^{n}[/tex3] + 1 ) , [tex3]p_{1}|(2^n + 1 )[/tex3] ⟺ [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{1})→2^{2n}≡1(mód. p_{1})[/tex3] .
Seja [tex3]d_{1}=ord_{p_{1}}2[/tex3] . Então [tex3]d_{1}|2n[/tex3] , [tex3]d_{1}[/tex3] não duvide n e [tex3]d_{1}|(p_{1}-1)[/tex3] . Logo [tex3]d_{1}|[ mdc (2n \ , \ p_{1}-1)][/tex3] . Porém, note que [tex3]p_{1}-1[/tex3] é menor do que qualquer fator primo de n, de modo que não pode ter divisores comuns com n. Portanto, [tex3][mdc (2n \ , \ p_{1}-1)]|2[/tex3] , e temos [tex3]d_{1}|2→2^2≡1(mód.p_{1})→p_{1}=3[/tex3]
Como 3||( 2 + 1 ) e [tex3]3^{\alpha _{1}}||n[/tex3] , do lema de Hensel temos que [tex3]3^{1+\alpha _{1}}||(2^n + 1)[/tex3] . Mas [tex3]3^{2\alpha }||n^2[/tex3] , logo [tex3]2\alpha _{1}≤1+\alpha _{1}→\alpha _{1}=1[/tex3] .
Perceba que não há contradição, então encontremos [tex3]p_{2}[/tex3] . Novamente, [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{2}) \ e \ 2^{2n}≡1(mód. p_{2})[/tex3] .
Seja [tex3]n_{2}=n/3=p_{2}^{\alpha _{2}}•...•p
_{k}^{\alpha _{k}}[/tex3] e [tex3]d_{2}=ord_{p_{2}}2[/tex3] . Logo [tex3]d_{2}|6n_{2}[/tex3] , [tex3]d_{2}[/tex3] não divide [tex3]3n_{2}[/tex3] e [tex3]d_{2}|(p_{2}-1)[/tex3] .
Como todos os divisores primos de [tex3]n_{2}[/tex3] são maiores do que [tex3]p_{2}-1[/tex3] , [tex3]d_{2}|6[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3. Assim, [tex3]2^{6}≡1(mód. p_{2})→p_{2}=7.[/tex3] O que é uma contradição pois [tex3]d_{2}=ord_{7}2=3[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3.
Portanto, não há [tex3]p_{2}[/tex3] ( e primos maiores também ) , e as únicas soluções são n = 1 e n = 3.
Nota
Lema de Hensel
Sejam p um número primo e [tex3]\alpha[/tex3] > 0.
I - Se n é ímpar, [tex3]p^{\alpha }||(a+1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}+1)[/tex3] .
II - Se [tex3]p^{\alpha }||(a-1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}-1)[/tex3] .
Bons estudos!
Dez 2019
28
18:22
Re: IMO 1990 Divisibilidade
Cardoso1979, Que notação é essa de duas barras verticais [tex3]||[/tex3]
em Aritmética? 
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