OlimpíadasEquação Irracional e Inteiros Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Nov 2019 11 13:52

Equação Irracional e Inteiros

Mensagem não lida por Babi123 » Seg 11 Nov, 2019 13:52

Qual é o menor inteiro positivo [tex3]𝑘[/tex3] tal que a equação:
[tex3]\sqrt{x-127}+\sqrt{k-x}=13[/tex3]
tem pelo menos uma solução real para [tex3]𝑥[/tex3] ?




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undefinied3
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Nov 2019 11 19:00

Re: Equação Irracional e Inteiros

Mensagem não lida por undefinied3 » Seg 11 Nov, 2019 19:00

[tex3]\sqrt{x-127}+\sqrt{k-x}=13 \rightarrow a+b=13[/tex3]
[tex3]a^2+b^2=k-127 \rightarrow (a+b)^2-2ab=k-127 \rightarrow 169-2ab=k-127[/tex3]
[tex3]296=k+2ab \rightarrow ab=\frac{296-k}{2}[/tex3]

[tex3]t^2-13t+\frac{296-k}{2}=0[/tex3]
[tex3]\Delta = 169-4.\frac{296-k}{2}=169+2k-592 = 2k-423[/tex3]

[tex3]t=\frac{13\pm \sqrt{2k-423}}{2}[/tex3]

Ou seja, a e b são esses números. Só que a e b são positivos. Além disso, [tex3]x\geq 127[/tex3] . Segue que [tex3]k \geq 127[/tex3]

[tex3]\frac{13-\sqrt{2k-423}}{2} \geq 0 \rightarrow \sqrt{2k-423} \leq 13 \rightarrow 2k-423 \leq 169 \rightarrow 2k \leq 592 \rightarrow k \leq 296[/tex3]

Por outro lado, [tex3]2k-423 \geq 0 \rightarrow k \geq 211,5[/tex3]

[tex3]211,5 \leq k \leq 296[/tex3]

Então o menor inteiro positivo é 212



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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