OlimpíadasFunção (Ibero americana 2019)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Out 2019 22 12:31

Função (Ibero americana 2019)

Mensagem não lida por Hanon » Ter 22 Out, 2019 12:31

Para cada inteiro positivo [tex3]n[/tex3] , seja [tex3]s(n)[/tex3] a soma dos quadrados dos dígitos de [tex3]n[/tex3] . Por exemplo, [tex3]s(15)= 1^2+5^2=26[/tex3] . Determine todos os inteiros [tex3]n\geq1[/tex3] tais que [tex3]s(n)=n[/tex3] .




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DanielDC
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Out 2019 23 16:25

Re: Função (Ibero americana 2019)

Mensagem não lida por DanielDC » Qua 23 Out, 2019 16:25

Vamos ver se minha tentativa tem lógica rsrsrs

Considere [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3] um número de k algarismos em que [tex3]n_i[/tex3] com [tex3]1\leq i\leq k[/tex3] representa esses algarismos.

I) Primeiramente, note que [tex3]S(n_1n_2...n_k)=S(n_1n_2...n_{k-3}000)+S(n_{k-2}n_{k-1}n_k)[/tex3] .

Temos que [tex3]S(1)=1[/tex3] .

De 2 a 99, fazemos na mão e podemos perceber que não tem [tex3]S(n)=n[/tex3] . (eu acho, não tentei todos rsrs)

Agora, vamos provar que para [tex3]n\geq 3[/tex3] , teremos que [tex3]S(n)< n[/tex3] , o que prova o exercício.

Para 3 algarismos temos que [tex3]S(n_1n_2n_3)=n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3=n_1n_2n_3[/tex3] .

Por que isso é verdade?

Note que [tex3]n_k[/tex3] é no máximo 9. Logo [tex3]n_1^2<100n_1[/tex3] e [tex3]n_2^2\leq10n_2[/tex3] pois [tex3]n_2[/tex3] pode ser 0.

Falta comparar [tex3]n_3[/tex3] . Vamos "emprestar " [tex3]90n_1[/tex3] dos [tex3]100n_1[/tex3] anteriores, note que precisamos apenas de [tex3]10n_1< n_1^2[/tex3] os outros [tex3]90n_1[/tex3] estão de sobra para usarmos. Logo, ficamos com [tex3]90n_1+n_3< n_3^2[/tex3] . Pois [tex3]n_3^2[/tex3] pode ser no máximo 81 e [tex3] 90n_1+n_3[/tex3] é no mínimo 90. Logo, de fato [tex3]n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3[/tex3] (espero que tenha ficado claro essa parte rsrs)

Agora vamos usar indução completa. Suponha que vale até [tex3]n_k[/tex3] , ou seja, para k algarismos com [tex3]k\geq3[/tex3] .

Usando I) e a hipótese de indução,

Temos que [tex3]S(n_1n_2...n_kn_{k+1})=S(n_1n_2...n_{k-2}000)+S(n_{k-1}n_{k}n_{k+1})< n_1n_2...n_{k-2}000+n_{k-1}n_kn_{k+1}=n_1n_2...n_{k+1}[/tex3] .

Logo, vamos ter que o único inteiro que satisfaz S é 1.

Gostaria que os colegas analisassem a resposta

Última edição: DanielDC (Qua 23 Out, 2019 18:30). Total de 5 vezes.



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DanielDC
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Re: Função (Ibero americana 2019)

Mensagem não lida por DanielDC » Qui 24 Out, 2019 22:19

DanielDC escreveu:
Qua 23 Out, 2019 16:25
Vamos ver se minha tentativa tem lógica rsrsrs

Considere [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3] um número de k algarismos em que [tex3]n_i[/tex3] com [tex3]1\leq i\leq k[/tex3] representa esses algarismos.

I) Primeiramente, note que [tex3]S(n_1n_2...n_k)=S(n_1n_2...n_{k-3}000)+S(n_{k-2}n_{k-1}n_k)[/tex3] .

Temos que [tex3]S(1)=1[/tex3] .

De 2 a 99, fazemos na mão e podemos perceber que não tem [tex3]S(n)=n[/tex3] . (eu acho, não tentei todos rsrs)

Agora, vamos provar que para [tex3]n\geq 3[/tex3] , teremos que [tex3]S(n)< n[/tex3] , o que prova o exercício.

Para 3 algarismos temos que [tex3]S(n_1n_2n_3)=n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3=n_1n_2n_3[/tex3] .

Por que isso é verdade?

Note que [tex3]n_k[/tex3] é no máximo 9. Logo [tex3]n_1^2<100n_1[/tex3] e [tex3]n_2^2\leq10n_2[/tex3] pois [tex3]n_2[/tex3] pode ser 0.

Falta comparar [tex3]n_3[/tex3] . Vamos "emprestar " [tex3]90n_1[/tex3] dos [tex3]100n_1[/tex3] anteriores, note que precisamos apenas de [tex3]10n_1< n_1^2[/tex3] os outros [tex3]90n_1[/tex3] estão de sobra para usarmos. Logo, ficamos com [tex3]90n_1+n_3< n_3^2[/tex3] . Pois [tex3]n_3^2[/tex3] pode ser no máximo 81 e [tex3] 90n_1+n_3[/tex3] é no mínimo 90. Logo, de fato [tex3]n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3[/tex3] (espero que tenha ficado claro essa parte rsrs)

Agora vamos usar indução completa. Suponha que vale até [tex3]n_k[/tex3] , ou seja, para k algarismos com [tex3]k\geq3[/tex3] .

Usando I) e a hipótese de indução,

Temos que [tex3]S(n_1n_2...n_kn_{k+1})=S(n_1n_2...n_{k-2}000)+S(n_{k-1}n_{k}n_{k+1})< n_1n_2...n_{k-2}000+n_{k-1}n_kn_{k+1}=n_1n_2...n_{k+1}[/tex3] .

Logo, vamos ter que o único inteiro que satisfaz S é 1.

Gostaria que os colegas analisassem a resposta
Na verdade, na hora da indução, não é provar para [tex3]n \geq 3[/tex3] , mas sim para [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3] , com [tex3]k\geq3[/tex3] . Mas acho que deu pra entender o contexto seguinte rsrs




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