OlimpíadasDesafio - Recorrência

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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undefinied3
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Desafio - Recorrência

Mensagem não lida por undefinied3 »

Não é bem questão de olimpíada, mas por outro lado eu não diria que se encaixa em ensino superior, muito menos médio e não tem cara de IME/ITA.

Na verdade é uma ideia que tive que resolvi desenvolver e acredito ter chegado em algum lugar. Não sei nem mesmo a respeito de quão robusto é a própria proposição de um problema como esse bem como as suas soluções. A ideia é inspirada em como, de certa forma, a resolução de recorrências é muito parecida com a resolução de equações diferenciais ordinárias. Então tomei a liberdade de tentar montar uma recorrência de múltiplas variáveis na tentativa de associar sua solução com a solução de equações diferenciais parciais, e acho que deu certo. Mas chega de blablablá.

O problema é o seguinte:

Considere [tex3]A(p,q)[/tex3] com p e q inteiros não negativos tal que [tex3]A[/tex3] satisfaz:
[tex3]A(p+1,q)+2A(p,q+1)=0[/tex3]

a) Quantas condições iniciais são necessárias para definir uma solução única para A? Há restrições que elas devem seguir?

b) Determine a solução do problema que satisfaz
[tex3]A(1,0)=\sqrt[3]{4}[/tex3]
[tex3]A(1,1)=\sqrt[3]{2}[/tex3]
[tex3]A(1,2)=1[/tex3]

Mais tarde eu posto minha resolução. Lembrando que eu nem mesmo sei se o que eu fiz está certo e se é uma solução geral. Pelo o que eu testei aqui, cheguei numa resposta consistente, mas vai lá saber. A solução que eu achei, no entanto, tá no spoiler.
Resposta

a) 3 condições iniciais. Precisam ser 3 valores de k tal que [tex3]2p-q=k[/tex3] , mas p e q podem ser arbitrários. Por exemplo, a condição [tex3]A(1,0)=\sqrt[3]{4}[/tex3] da letra b poderia ser [tex3]A(4,6)=\sqrt[3]{4}[/tex3] , claro, mudando a resposta do problema, mas ainda seria uma condição consistente com as demais.
b) [tex3]\frac{(\sqrt[3]{2})^{2x-y}}{3}.((-1)^{2x-y}+(1-i\sqrt{3})cis(\frac{(2x-y)\pi}{3})+(1+i\sqrt{3})cis(\frac{5(2x-y)\pi}{3}))[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Ter 15 Out, 2019 13:04). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Auto Excluído (ID:24303)
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Re: Desafio - Recorrência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:24303) »

vou dar uma revivida modesta nesse tópico. Acho que o André é mais capacitado do que eu pra resolvê-lo.
supondo:
[tex3]A(p,q) = f(p) \cdot g(q)[/tex3]
então:
[tex3]f(p+1) g(p) + 2f(p)g(p+1) = 0 \iff \frac{f(p+1)}{f(p)} = - 2\frac{g(q+1)}{g(q)}[/tex3]
de onde:
[tex3]f(p+1) = -2kf(p) \implies f(p) = (-2k)^{p} \cdot b[/tex3] e [tex3]g(q+1) = kg(q) \implies g(q) = k^{q} \cdot a [/tex3]
[tex3]A(p,q) = ab (-2k)^{p} k^q[/tex3]
Acho que são três condições iniciais, uma para [tex3]a[/tex3] , uma para [tex3]k[/tex3] e uma para [tex3]b[/tex3] .

Última edição: Auto Excluído (ID:24303) (Sex 17 Abr, 2020 09:29). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Re: Desafio - Recorrência

Mensagem não lida por undefinied3 »

Parece que tá batendo com a minha, tirando algum sinal que posso ter errado.

Mas realmente, esqueci de separação de variável por ser só de primeira ordem e resolvi com métodos pra EDP de primeira ordem e acabou ficando bem mais bagunçada a resposta final.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Auto Excluído (ID:24303)
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Abr 2020 17 19:39

Re: Desafio - Recorrência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:24303) »

vish, eu não sei como fazer sem separar as variáveis. É mais rigoroso, mas deve dar trabalho expandir em série a função.
Para testar as condições iniciais no meu caso fica bem chato:
[tex3]A(p_1,q_1) = x_1, A(p_2,q_2) = x_2, A(p_3,q_3) = x_3[/tex3]
[tex3]\frac{x_1}{x_2} = (-2k)^{p_1-p_2} k^{q_1-q_2}[/tex3]
aplicando os logaritmos
[tex3]\log x_1 - \log x_2 = (p_1-p_2) \log (-2k) + (q_1-q_2) \log k[/tex3]
tem um [tex3]\log[/tex3] de número negativo ai, teria que usar complexos mesmo.




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