Olimpíadas ⇒ Vietnã 1996 Sistema de Equação Tópico resolvido

[Babi123]

Encontre todos os números reais positivos [tex3]x,y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,y[/tex3]

satisfazendo o sistema de equações:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{3x}\(1+\frac{1}{x+y}\)=2\\
\sqrt{7y}\(1-\frac{1}{x+y}\)=4\sqrt{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\sqrt{3x}\(1+\frac{1}{x+y}\)=2\\
\sqrt{7y}\(1-\frac{1}{x+y}\)=4\sqrt{2}
\end{cases}[/tex3]

[Tassandro]

Babi123,
Rearranjando as duas equações com sabedoria, encontramos que:
[tex3]\begin{cases}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt2}{\sqrt{7y}}\\1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{7y}}\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt2}{\sqrt{7y}}\\1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{7y}}\end{cases}[/tex3]

Multiplicando essas duas maravilhas e realizando algumas simplificações algébricas...
[tex3]7y^2-38xy-24x^2=0\implies(y-6x)(7y+4)=0\implies y=6x\text{ pois sabemos que }7y+4>0[/tex3]

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[tex3]7y^2-38xy-24x^2=0\implies(y-6x)(7y+4)=0\implies y=6x\text{ pois sabemos que }7y+4>0[/tex3]

Assim, basta calcular x usando a segunda equação...
[tex3]1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{42x}}\implies x=\frac{11+44\sqrt7}{21}\implies y=\frac{22+8\sqrt7}{7}[/tex3]

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[tex3]1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt{42x}}\implies x=\frac{11+44\sqrt7}{21}\implies y=\frac{22+8\sqrt7}{7}[/tex3]

[Babi123]

Obgda Tassandro

[Tassandro]

Babi123,
De nada =)