Olimpíadas ⇒ (China) Polinômio Tópico resolvido

[snooplammer]

Se [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

é um polinômio de grau n, tal que [tex3]P(w)=\frac{1}{w}[/tex3]

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[tex3]P(w)=\frac{1}{w}[/tex3]

para [tex3]w\in \{1,2,2^2,\dots,2^n\}[/tex3]

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[tex3]w\in \{1,2,2^2,\dots,2^n\}[/tex3]

, calcule [tex3]P(0)[/tex3]

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[tex3]P(0)[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja [tex3]Q(x) = xP(x) -1[/tex3]

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[tex3]Q(x) = xP(x) -1[/tex3]

um polinômio de grau [tex3]n+1[/tex3]

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[tex3]n+1[/tex3]

então sabemos quais são suas [tex3]n+1[/tex3]

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[tex3]n+1[/tex3]

raízes: [tex3]\{1,2,4,...,2^n\}[/tex3]

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[tex3]\{1,2,4,...,2^n\}[/tex3]

logo [tex3]Q(x) = a \prod_{i-0}^n(x-2^i)[/tex3]

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[tex3]Q(x) = a \prod_{i-0}^n(x-2^i)[/tex3]

logo [tex3]Q(0) = a \prod_{i=0}^n(0 - 2^i) = a(-1)^{n+1} \prod_{i=0}^n (2)^i = a(-1)^{n+1}2^{\sum_{i=0}^ni} = a(-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2}[/tex3]

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[tex3]Q(0) = a \prod_{i=0}^n(0 - 2^i) = a(-1)^{n+1} \prod_{i=0}^n (2)^i = a(-1)^{n+1}2^{\sum_{i=0}^ni} = a(-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2}[/tex3]

agora note que o termo independente de [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

é [tex3]-1[/tex3]

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[tex3]-1[/tex3]

pois [tex3]Q(x) = xP(x) - 1[/tex3]

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[tex3]Q(x) = xP(x) - 1[/tex3]

logo
[tex3]-1 = a (-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2} \iff a = (-1)^n \cdot 2^{-\frac{n(n+1)}2}[/tex3]

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[tex3]-1 = a (-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2} \iff a = (-1)^n \cdot 2^{-\frac{n(n+1)}2}[/tex3]

então sabemos quem é [tex3]Q(x)[/tex3]

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[tex3]Q(x)[/tex3]

[tex3]P(0)[/tex3]

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[tex3]P(0)[/tex3]

é o termo que acompanha [tex3]x^1[/tex3]

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[tex3]x^1[/tex3]

em [tex3]Q(x)[/tex3]

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[tex3]Q(x)[/tex3]

que, por Girard, vale algo do tipo [tex3]a \cdot (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n 2^k[/tex3]

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[tex3]a \cdot (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n 2^k[/tex3]

deixo pra ti terminar

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Entendi, eu fiz algo bem semelhante, mas como não foi definido se n era par ou ímpar, poderia chegar em duas respostas, a melhor opção era colocar o -1 em evidência mesmo, dai não precisaria criar 2 casos. Obrigado!