Olimpíadas(China) Polinômio Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Set 2019 30 19:35

(China) Polinômio

Mensagem não lida por snooplammer » Seg 30 Set, 2019 19:35

Se [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio de grau n, tal que [tex3]P(w)=\frac{1}{w}[/tex3] para [tex3]w\in \{1,2,2^2,\dots,2^n\}[/tex3] , calcule [tex3]P(0)[/tex3]




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (China) Polinômio

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Seg 30 Set, 2019 20:11

seja [tex3]Q(x) = xP(x) -1[/tex3] um polinômio de grau [tex3]n+1[/tex3] então sabemos quais são suas [tex3]n+1[/tex3] raízes: [tex3]\{1,2,4,...,2^n\}[/tex3] logo [tex3]Q(x) = a \prod_{i-0}^n(x-2^i)[/tex3] logo [tex3]Q(0) = a \prod_{i=0}^n(0 - 2^i) = a(-1)^{n+1} \prod_{i=0}^n (2)^i = a(-1)^{n+1}2^{\sum_{i=0}^ni} = a(-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2}[/tex3]
agora note que o termo independente de [tex3]Q[/tex3] é [tex3]-1[/tex3] pois [tex3]Q(x) = xP(x) - 1[/tex3] logo
[tex3]-1 = a (-1)^{n+1} 2^{\frac{n(n+1)}2} \iff a = (-1)^n \cdot 2^{-\frac{n(n+1)}2}[/tex3] então sabemos quem é [tex3]Q(x)[/tex3] [tex3]P(0)[/tex3] é o termo que acompanha [tex3]x^1[/tex3] em [tex3]Q(x)[/tex3] que, por Girard, vale algo do tipo [tex3]a \cdot (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n 2^k[/tex3] deixo pra ti terminar




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snooplammer
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Re: (China) Polinômio

Mensagem não lida por snooplammer » Seg 30 Set, 2019 20:30

Entendi, eu fiz algo bem semelhante, mas como não foi definido se n era par ou ímpar, poderia chegar em duas respostas, a melhor opção era colocar o -1 em evidência mesmo, dai não precisaria criar 2 casos. Obrigado!




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