Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2019) Geometria Plana Tópico resolvido

[LuanCorreia]

PROVE QUE OA²+OD²=OB²+OC².

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Resposta

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Minha solução:
Traçando uma linha paralela a AB, e CD, passando pelo segmento O, formam-se quatro triângulos retângulos.
OA, a e d;
OB, a e c;
OC, b e d;
OD, b e c;

(ANEXOS)

Logo:
OA² = a² + d²
OB² = a² + c²
OC² = b² + d²
OD² = b² + c²

Como OA²+OD²= OB² + OC²:
a² + d² + b² + c² = a² + c² + b² + d², organizando:
a² + b² + c² + d² = a² + b² + c² + d²;
Isso está certo? Existe alguma maneira mais trivial de provar essa relação?

[rodBR]

Em uma demonstração vc não pode usar como argumento a tese:

Como OA²+OD²=OB²+OC²:

Vou aproveitar sua prova daqui:
[tex3]\begin{cases}
OA^2=a^2+d^2\ (i)\\
OB^2=a^2+c^2 \ (ii)\\
OC^2=b^2+d^2 \ (iii)\\
OD^2=b^2+c^2\ (iv)\\
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
OA^2=a^2+d^2\ (i)\\
OB^2=a^2+c^2 \ (ii)\\
OC^2=b^2+d^2 \ (iii)\\
OD^2=b^2+c^2\ (iv)\\
\end{cases}[/tex3]

Fazendo [tex3](i)+(iv)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](i)+(iv)[/tex3]

, obtemos:
[tex3]OA^2+OD^2=a^2+d^2+b^2+c^2\\
OA^2+OD^2=a^2+c^2+b^2+d^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OA^2+OD^2=a^2+d^2+b^2+c^2\\
OA^2+OD^2=a^2+c^2+b^2+d^2[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](ii)[/tex3]

e [tex3](iii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](iii)[/tex3]

, segue que:
[tex3]\boxed{\boxed{OA^2+OD^2=OB^2+OC^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{OA^2+OD^2=OB^2+OC^2}}[/tex3]

[rodBR]

Um adendo: Esse teorema que foi pedido a prova é chamado Teorema de Marlen. Procure por ele. Aqui mesmo no fórum vc vai encontrar alguma coisa sobre.
Abraços!