Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Área do triângulo Tópico resolvido
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edenialopes
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Set 2019
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18:36
Área do triângulo
Na figura, AB=AC e DE É Diâmetro do semicírculo . Determine a área de ABC:
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Auto Excluído (ID:12031)
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Set 2019
15
20:52
Re: Área do triângulo
Seja [tex3]K[/tex3]
o ponto de encontro do lado [tex3]AC[/tex3]
com o semicírculo desenhado.
note que, como [tex3]DE[/tex3] é diâmetro, então [tex3]\angle DKE = 90[/tex3] pois enxerga um arco de 180º (seria a outra metade do círculo que não foi desenhada.
Logo [tex3]DK = R \sqrt2[/tex3] onde [tex3]2R = DE[/tex3]
agora faça lei dos cossenos no triângulo [tex3]\Delta DKC[/tex3] :
[tex3]KC^2 = DC^2 + DK^2 - 2DC \cdot DK \cdot \cos(45)[/tex3]
logo:
[tex3]13^2 = 7^2 + 2R^2 - 2R \cdot 7 \iff 120 = 2R^2 - 14R \iff 60 = R^2 - 7R[/tex3]
de onde [tex3]R=-5[/tex3] (absurdo) ou [tex3]R = 12[/tex3]
seja [tex3]O[/tex3] o centro do círculo, olhe o triângulo retângulo [tex3]\Delta CKO[/tex3] :
[tex3]\cos (\angle OCK) = \frac{5}{13} \implies \tg(\angle OCK) = \frac{12}{5}[/tex3]
Seja [tex3]T[/tex3] o ponto de tangência do lado [tex3]AB[/tex3] com o semi-círculo:
[tex3]\Delta OTB[/tex3] é congruente ao [tex3]\Delta CKO[/tex3] ambos retângulos de mesmo cateto e ângulos.
Logo [tex3]OB = CK = 13[/tex3]
logo a base [tex3]BC[/tex3] do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é: [tex3]CO+OB = 5+13=18[/tex3]
temos a base, temos a tangente dos ângulos da base então:
[tex3]S = \frac{BC \cdot h}2 = (\frac{BC}2)^2 \cdot \tg(\angle OCK) = 81 \cdot \frac{12}5[/tex3]
acho que é isso
note que, como [tex3]DE[/tex3] é diâmetro, então [tex3]\angle DKE = 90[/tex3] pois enxerga um arco de 180º (seria a outra metade do círculo que não foi desenhada.
Logo [tex3]DK = R \sqrt2[/tex3] onde [tex3]2R = DE[/tex3]
agora faça lei dos cossenos no triângulo [tex3]\Delta DKC[/tex3] :
[tex3]KC^2 = DC^2 + DK^2 - 2DC \cdot DK \cdot \cos(45)[/tex3]
logo:
[tex3]13^2 = 7^2 + 2R^2 - 2R \cdot 7 \iff 120 = 2R^2 - 14R \iff 60 = R^2 - 7R[/tex3]
de onde [tex3]R=-5[/tex3] (absurdo) ou [tex3]R = 12[/tex3]
seja [tex3]O[/tex3] o centro do círculo, olhe o triângulo retângulo [tex3]\Delta CKO[/tex3] :
[tex3]\cos (\angle OCK) = \frac{5}{13} \implies \tg(\angle OCK) = \frac{12}{5}[/tex3]
Seja [tex3]T[/tex3] o ponto de tangência do lado [tex3]AB[/tex3] com o semi-círculo:
[tex3]\Delta OTB[/tex3] é congruente ao [tex3]\Delta CKO[/tex3] ambos retângulos de mesmo cateto e ângulos.
Logo [tex3]OB = CK = 13[/tex3]
logo a base [tex3]BC[/tex3] do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é: [tex3]CO+OB = 5+13=18[/tex3]
temos a base, temos a tangente dos ângulos da base então:
[tex3]S = \frac{BC \cdot h}2 = (\frac{BC}2)^2 \cdot \tg(\angle OCK) = 81 \cdot \frac{12}5[/tex3]
acho que é isso
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edenialopes
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