Olimpíadas

Mensagem não lidapor **MedeirosU** » 30 Ago 2019, 07:41 · Mensagem não lida por **MedeirosU** » 30 Ago 2019, 07:41

(OBMEP) Na figura, cada um dos 4 segmentos contém três círculos. Os círculos devem ser numerados de 1 a 9, de modo que a soma dos números nos três círculos de cada segmento seja igual para todos os segmentos. Qual é o menor número que pode ser escrito no círculo cinza?

: 20190830_063617.jpg (16.29 KiB) Exibido 3066 vezes

(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.

Resposta

A

Mensagem não lidapor **LostWalker** » 30 Ago 2019, 10:18 · Mensagem não lida por **LostWalker** » 30 Ago 2019, 10:18

Achei esse divertido, então vou montar aqui. Eu usei um pouco de Hipótese, e misturei com aritmética

A Primeira notação é que as contas serão algo como (Vou usar termos como se fosse na ordem da esquerda para direita):

[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{5}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{7}}[/tex3]

[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_1+a_2+{\color{Green}a_3}=S[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,{\color{Green}a_3}+a_4+{\color{Green}a_5}=S[/tex3]
[tex3]III\,\,{\color{Green}a_5}+a_6+{\color{Green}a_7}=S[/tex3]
[tex3]IV\,\,\,{\color{Green}a_7}+a_8+a_9=S[/tex3]

Os números Duplicados são os [tex3]{\color{Green}\mbox{verdes}}[/tex3] . Sendo o termo central o [tex3]{\color{Green}a_5}[/tex3] . Note que [tex3]I[/tex3] e [tex3]IV[/tex3] tem [tex3]1[/tex3] e [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3] tem [tex3]2[/tex3]

Vamos trabalhar usando Hipóteses

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1º Hipótese

Os números [tex3]1,2,3[/tex3] estão em ramos separados. Por serem os menores elementos, juntas os mesmo como criar um ramo de valor pequeno. Normalmente eu uso como Hipótese e nem testo, mas com propósito de explicar melhor, vou mostrar

[tex3]{\color{Green}1}+{\color{Green}2}+9=12[/tex3]
[tex3]8+{\color{Green}3}+{\color{Green}1}=12[/tex3]
[tex3]7+{\color{Green}3}+{\color{Green}2}=12[/tex3] Aqui dois números Duplicados aparecem pela terceira vez, o que é impossível

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2º Hipótese

O número [tex3]9[/tex3] estará no mesmo ramo do número [tex3]1[/tex3] . Visto que [tex3]9[/tex3] é a maior soma, ele provavelmente está acompanhando o [tex3]1[/tex3] que é a menor

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1º Afirmação

Se todos os ramos possuem mesmo valor, somar todos os termos será igual a um múltiplo de 4. Logo vamos descrever

[tex3]\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+a_3+a_5+a_7}{4}=\frac{45+a_3+a_5+a_7}{4}=11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}[/tex3]

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3º Hipótese

Se [tex3]1[/tex3] e [tex3]9[/tex3] estão juntos, então eles mais um dos termos terá o mesmo resultado da afirmação acima, logo

[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=1+9+a_?[/tex3]

[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=10+a_?[/tex3]

[tex3]\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=a_?-1[/tex3]

[tex3]1+a_3+a_5+a_7=4a_?-4[/tex3]

[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]

Por fim, vamos ir testando valores, sabendo que:

[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_?[/tex3] Não pode nem ser [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,a_?[/tex3] pode ser igual a [tex3]a_3,a_5\mbox{ ou }a_7[/tex3] desde que o valor não seja [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]III\,\,\,[/tex3] O menor valor de [tex3]a_3+a_5+a_7=1+2+3=6[/tex3]

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4º Hipótese

De [tex3]1,2 \mbox{ ou }3[/tex3] , apenas um deles pode estar pode estar como Duplicado para não ficar gerando médias muito baixas, pois isso causa o mesmo conflito da 1º Hipótese

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1º Tentativa

Vamos tentar claro usar o [tex3]1[/tex3] como [tex3]a_5[/tex3]

[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]

Não dá para [tex3]8[/tex3] nem [tex3]12[/tex3] pelas Hipóteses anteriores. Tentando para [tex3]16[/tex3] :

[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+4+6=4a_?[/tex3]
[tex3]a_?=4[/tex3]

Jogando os resultados que já temos como

[tex3]a_3=4\\a_4=9\\a_5=1\mbox{ Soma igual a 14}\\a_7=6[/tex3]

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Logo, possível solução, segundo a 1º Tentativa

[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{7}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6}[/tex3]

[tex3]\color{Blue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]

Pode ter parecido confuso ou longo, mas eu respondi a pergunta em 3 min, essas Hipóteses são bem manjadas, tendo ideia delas, não leva muito tempo na prática. Agora ter escrito esse post explicando cada uma... bom... isso demorou XD

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