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[Itz]

Qual o algarismo das dezenas do produto dos 100 primeiros números primos ?

[DanielDC]

Seja N=2.3.5.7...P_{100} o produto os 100 primeiros primos, note que 2.5=10 logo, podemos escrever esse número como 3.7.11...P_{100}.10, logo, o que vai definir o algarismo das dezenas desse número é algarismo das unidades de 3.7...P_{100}.

Sabemos que

(3.7...P_{100})^{\phi(10)}\equiv1(mod 10), logo (3.7...P_{100})^{4}\equiv1(mod 10), porém, todo inteiro do tipo 10k+1, pois 10k+3,10k+7 ou 10k+9 elevados a 4 deixam resto 1 ao dividir por 10. Tinha feito algo muito errado, vou tentar terminar depois o exercícios rsrs

[Itz]

Desejamos saber o algarismo das unidades do número 3.7.11.....541, isto é, seu resto quando dividido por 10 . Veja que , podemos organizar o números em pares da seguinte forma :
Exemplo : Vamos agrupar os números 3 e 7 , já que 7 deixa resto -3 na divisão por 10 e , logo , teremos que 3.7 é congruente a -9 módulo 10 .
Além disso , é conveniente saber que existem ( até os 100 primeiros primos ) 26 primos terminados em 3 e 24 terminados em 7 . Assim teremos 24 fatores iguais a -9 e um igual a 9
Repetiremos a mesma ideia para agrupar os números terminados em 9 ( 24 números )com 1 (24 números ) : 9.1 é congruente a -1 módulo 10
Multiplicando : ( - 9 ) ^ 24 . 9.( -1)^22 . 1 => (1)^24 . 1 congruente a 1 módulo 10 => o algarismo das unidades é 1.

[DanielDC]

Mas a questão de 'é conveniente' fica complicado, rsrs, os números primos até onde sei não obedecem isso de distribuir ordenadamente com que algarismos vão terminar. Se for pra pegar todos os 100 primeiros primos e olhar o algarismo final aí fica tranquilo de responder mesmo.