OlimpíadasGeometria - Colinearidade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Ago 2019 17 19:36

Geometria - Colinearidade

Mensagem não lida por Babi123 » Sáb 17 Ago, 2019 19:36

O quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] está inscrito em um círculo [tex3]S[/tex3] . Seja [tex3]X[/tex3] o ponto de intersecção entre os lados [tex3]AB \ e \ CD[/tex3] e [tex3]W[/tex3] o ponto de interseção entre os lados [tex3]AD \ e \ BC[/tex3] . As tangentes traçadas por [tex3]X[/tex3] intersectam [tex3]S[/tex3] em [tex3]Y \ e \ Z[/tex3] . Prove que [tex3]W, Y \ e \ Z[/tex3] são colineares.




Auto Excluído (ID:12031)
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Ago 2019 18 02:14

Re: Geometria - Colinearidade

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Dom 18 Ago, 2019 02:14

o segredo é inverter a ordem do problema: dado um ponto X e um círculo, tracemos as tangentes de X ao círculo, tracemos a partir de X duas retas secantes ao círculo de forma a criarmos um quadrilátero ABCD o problema basicamente quer que mostremos que Z está em WY mas isso é um resultado trivial do fato de que a reta [tex3]ZT[/tex3] é polar de [tex3]X[/tex3] onde [tex3]T = AC \cap DB[/tex3] .

Esse resultado eu mostrei com a razão anarmônica no item 3 daqui
tem um link que prova esse resultado sem a razão anarmônica, só fazendo muitas contas no tópico de pólos e polares




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