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Seja [tex3]M[/tex3]
o ponto médio do lado [tex3]BC[/tex3]
e [tex3]H_a[/tex3]
o pé da altura do vértice [tex3]A[/tex3]
em relação ao lado [tex3]BC[/tex3]
.
Quadrilátero [tex3]APMH_a[/tex3]
é cíclico pois [tex3]\angle AH_a M = \angle MPA = 90[/tex3]
.
Quadrilátero [tex3]AQH_aM[/tex3]
também é cíclico pois [tex3]AH_aM = \angle AQM = 90[/tex3]
.
Então se olharmos para o círculo definido por [tex3](AH_aM)[/tex3]
teremos que ele também passa por [tex3]PQ[/tex3]
.
Vou mostrar que o ortocentro está no eixo radical dos dois círculos:
a potência do ortocentro em relação ao círculo por [tex3](AH_aM)[/tex3]
[tex3]HH_a \cdot HA[/tex3]
a potência do ortocentro em relação ao círculo de diâmetro [tex3]BC[/tex3]
é:
[tex3]\frac{a^2}4 - HM^2 = \frac{a^2}4 - (HH_a^2 + H_aM^2) = (\frac a2 - H_aM)(\frac a2+H_aM) - HH_a^2 = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2[/tex3]
as potências são iguais se:
[tex3]H_aH \cdot HA = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2 \iff HH_a(HA + HH_a) = BH_a \cdot CH_a \iff \tg B = \frac{AH_a}{BH_a}[/tex3]
o que é verdade.
Deve ter uma forma mais esperta, acho que olhando pros outros pés de alturas e desenhando mais uns círculos o resultado deve ser mais imediato, esse deu muita conta