Olimpíadas ⇒ Geometria - colinearidade Tópico resolvido

[Babi123]

Seja [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

o ortocentro do triângulo acutângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

. As tangentes traçadas por [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

do círculo de diâmetro [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

intersectam o círculo em [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

e [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

. Prove que [tex3]P, Q\ e \ H[/tex3]

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[tex3]P, Q\ e \ H[/tex3]

são colineares.

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Seja [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

o ponto médio do lado [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

e [tex3]H_a[/tex3]

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[tex3]H_a[/tex3]

o pé da altura do vértice [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

em relação ao lado [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

.

Quadrilátero [tex3]APMH_a[/tex3]

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[tex3]APMH_a[/tex3]

é cíclico pois [tex3]\angle AH_a M = \angle MPA = 90[/tex3]

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[tex3]\angle AH_a M = \angle MPA = 90[/tex3]

.
Quadrilátero [tex3]AQH_aM[/tex3]

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[tex3]AQH_aM[/tex3]

também é cíclico pois [tex3]AH_aM = \angle AQM = 90[/tex3]

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[tex3]AH_aM = \angle AQM = 90[/tex3]

.

Então se olharmos para o círculo definido por [tex3](AH_aM)[/tex3]

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[tex3](AH_aM)[/tex3]

teremos que ele também passa por [tex3]PQ[/tex3]

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[tex3]PQ[/tex3]

.

Vou mostrar que o ortocentro está no eixo radical dos dois círculos:
a potência do ortocentro em relação ao círculo por [tex3](AH_aM)[/tex3]

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[tex3](AH_aM)[/tex3]

[tex3]HH_a \cdot HA[/tex3]

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[tex3]HH_a \cdot HA[/tex3]

a potência do ortocentro em relação ao círculo de diâmetro [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

é:
[tex3]\frac{a^2}4 - HM^2 = \frac{a^2}4 - (HH_a^2 + H_aM^2) = (\frac a2 - H_aM)(\frac a2+H_aM) - HH_a^2 = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2[/tex3]

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[tex3]\frac{a^2}4 - HM^2 = \frac{a^2}4 - (HH_a^2 + H_aM^2) = (\frac a2 - H_aM)(\frac a2+H_aM) - HH_a^2 = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2[/tex3]

as potências são iguais se:
[tex3]H_aH \cdot HA = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2 \iff HH_a(HA + HH_a) = BH_a \cdot CH_a \iff \tg B = \frac{AH_a}{BH_a}[/tex3]

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[tex3]H_aH \cdot HA = BH_a \cdot H_aC - HH_a^2 \iff HH_a(HA + HH_a) = BH_a \cdot CH_a \iff \tg B = \frac{AH_a}{BH_a}[/tex3]

o que é verdade.

Deve ter uma forma mais esperta, acho que olhando pros outros pés de alturas e desenhando mais uns círculos o resultado deve ser mais imediato, esse deu muita conta

[Auto Excluído (ID:12031)]

Babi123, agora eu me toquei que esse problema é igual ao outro. PQ é a polar de A, H é o encontro das diagonais do quadrilátero BEDC e A é o encontro de BE com DC, logo H também está na polar de A pelo mesmo resultado do outro exercício, item 3 do tópico de razão anarmônica 2