Olimpíadas ⇒ Princípio da Casa dos Pombos Tópico resolvido

[Itz]

O plano é pintado usando três cores. Prove que podemos encontrar um triângulo retângulo isósceles com os três vértices da mesma cor.

[Tassandro]

Itz,
Suponha que exista uma forma de pintar o plano de forma que não exista um
triângulo isóceles monocromático. Assuma que as cores sejam verde, azul e vermelho.
Construa um círculo e suponha sem perda de generalidade que o seu centro O seja verde. Dessa forma, pode haver no máximo um único ponto verde dentre os pontos do círculo. Assim é possível construir um pentágono regular A1A2A3A4A5 cujos vértices são todos azuis ou vermelhos inscrito nesse círculo.
Daí, pelo princípio da casa dos pombos, existirão três vértices do pentágono que serão da
mesma cor. E como quaisquer três vértices de um pentágono regular formam um triângulo
isósceles, existirá um triângulo isósceles monocromático.
Agora que vi que o triângulo também tem que ser retângulo... isso vai dar mais trabalho...
Eureka!
Bem, suponha agora que vamos inscrever um quadrado nesse círculo.
Ora, se nós temos 4 vértices e 3 cores, pelo menos 2 vértices tem a mesma cor, logo, se esses dois vértices tiverem a mesma cor do centro do círculo, eles formarão um triângulo retângulo isóceles!