OlimpíadasEquação Diofantina Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Ago 2019 08 12:03

Equação Diofantina

Mensagem não lida por Hanon » Qui 08 Ago, 2019 12:03

Encontrar todos os pares [tex3](x,y)[/tex3] de inteiros, tais que:
[tex3]xy+\frac{x^3+y^3}{3}=2007[/tex3]
Resposta

[tex3](x,y)=(18,3) \ \ ou \ \ (x,y)=(3,18)[/tex3]




Auto Excluído (ID:12031)
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Ago 2019 08 23:14

Re: Equação Diofantina

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Qui 08 Ago, 2019 23:14

o pessoal chama de identidade de Gauss. Eu chamo de fatoração clássica:

[tex3]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2 + z^2 - xy-xz-yz)[/tex3]

coloque [tex3]z=-1[/tex3]
[tex3]x^3 + y^3 + 3xy = 1 + (x+y-1)(x^2+y^2 +1 -xy + x+y)[/tex3]
[tex3]3 \cdot 2007 - 1 = (x+y-1)(x^2+y^2+1+x+y-xy)[/tex3]

dá pra fazer na mão conferindo os divisores de [tex3]6020[/tex3]




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Ago 2019 09 21:02

Re: Equação Diofantina

Mensagem não lida por Hanon » Sex 09 Ago, 2019 21:02

Grato pelo atenção. Valeu sousóeu!




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