OlimpíadasTrigonometria - Produtório Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Ago 2019 08 11:26

Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por Hanon » Qui 08 Ago, 2019 11:26

Prove que: [tex3]\prod_{k=1}^{n}\(1+2\cos\(\frac{2\pi\cdot3^k}{3^n+1}\)\)=1[/tex3]

Última edição: Hanon (Qui 08 Ago, 2019 11:26). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Qui 10 Out, 2019 11:00

acho que sai se fizer [tex3]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3] mas dá umas contas ai




snooplammer
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Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por snooplammer » Qui 10 Out, 2019 13:09

Eu tentei usar complexos um tempo atrás, mas ficaram umas contas bem feias
Última edição: snooplammer (Qui 10 Out, 2019 13:12). Total de 1 vez.



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Al3
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Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por Al3 » Qui 10 Out, 2019 18:25




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Qui 10 Out, 2019 19:39

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3] que fica meio próximo



snooplammer
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Out 2019 10 21:35

Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por snooplammer » Qui 10 Out, 2019 21:35

sousóeu escreveu:
Qui 10 Out, 2019 19:39
snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3] que fica meio próximo
SIm,

[tex3]\frac{1-\cis(3x)}{\cis(x)(1-\cis(x))}=\frac{\sen\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sen\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}=\theta[/tex3]

[tex3]1+2\cos 2\theta=\frac{\sen 3\theta}{\sen \theta}[/tex3]
Última edição: snooplammer (Qui 10 Out, 2019 22:25). Total de 1 vez.



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Re: Trigonometria - Produtório

Mensagem não lida por Al3 » Qui 10 Out, 2019 22:46

sousóeu escreveu:
Qui 10 Out, 2019 19:39
snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3] que fica meio próximo
Eu não, o meu colega Filipe. Eu não tenho tanta habilidade em matemática.




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