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Prove que: [tex3]\prod_{k=1}^{n}\(1+2\cos\(\frac{2\pi\cdot3^k}{3^n+1}\)\)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\prod_{k=1}^{n}\(1+2\cos\(\frac{2\pi\cdot3^k}{3^n+1}\)\)=1[/tex3]

acho que sai se fizer [tex3]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

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[tex3]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

mas dá umas contas ai

Eu tentei usar complexos um tempo atrás, mas ficaram umas contas bem feias

Segue uma ajuda

https://youtu.be/oHAmL4FTF50

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

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[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

sousóeu escreveu: ↑

Qui 10 Out, 2019 19:39

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

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[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

SIm,

[tex3]\frac{1-\cis(3x)}{\cis(x)(1-\cis(x))}=\frac{\sen\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sen\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-\cis(3x)}{\cis(x)(1-\cis(x))}=\frac{\sen\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sen\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}=\theta[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}=\theta[/tex3]

[tex3]1+2\cos 2\theta=\frac{\sen 3\theta}{\sen \theta}[/tex3]

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[tex3]1+2\cos 2\theta=\frac{\sen 3\theta}{\sen \theta}[/tex3]

sousóeu escreveu: ↑

Qui 10 Out, 2019 19:39

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

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[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

Eu não, o meu colega Filipe. Eu não tenho tanta habilidade em matemática.