Olimpíadas ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2019
02
09:23
Divisibilidade
Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide n^2 + 2009 e n + 2010 divide n^2 +2010.
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Ago 2019
02
23:46
Re: Divisibilidade
[tex3]n + 2009 | n(n+2009) = n^2 + 2009n[/tex3]
se [tex3]n+2009 \vert n^2 + 2009[/tex3] então [tex3]n+2009 \vert (n^2+2009n) - (n^2+2009) = 2009(n-1)[/tex3]
mas como [tex3]n + 2009 \vert2009 (n+2009)[/tex3]
temos que
[tex3]n+2009 | 2009n + 2009^2 - 2009n + 2009 = 2009 \cdot 2010[/tex3]
analogamente:
[tex3]n + 2010 \vert (n^2 + 2010n) - (n^2+2010) = 2010(n-1)[/tex3]
[tex3]n + 2010 \vert 2010 \cdot 2011[/tex3]
a partir daqui eu só consigo ver um jeito de resolver que é encontrando todos os divisores desses números e vendo quais n resolvem os dois ao mesmo tempo, mas da uma trabalhinho braçal
se [tex3]n+2009 \vert n^2 + 2009[/tex3] então [tex3]n+2009 \vert (n^2+2009n) - (n^2+2009) = 2009(n-1)[/tex3]
mas como [tex3]n + 2009 \vert2009 (n+2009)[/tex3]
temos que
[tex3]n+2009 | 2009n + 2009^2 - 2009n + 2009 = 2009 \cdot 2010[/tex3]
analogamente:
[tex3]n + 2010 \vert (n^2 + 2010n) - (n^2+2010) = 2010(n-1)[/tex3]
[tex3]n + 2010 \vert 2010 \cdot 2011[/tex3]
a partir daqui eu só consigo ver um jeito de resolver que é encontrando todos os divisores desses números e vendo quais n resolvem os dois ao mesmo tempo, mas da uma trabalhinho braçal
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