Olimpíadas ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido

[Itz]

Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide n^2 + 2009 e n + 2010 divide n^2 +2010.

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[tex3]n + 2009 | n(n+2009) = n^2 + 2009n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n + 2009 | n(n+2009) = n^2 + 2009n[/tex3]

se [tex3]n+2009 \vert n^2 + 2009[/tex3]

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[tex3]n+2009 \vert n^2 + 2009[/tex3]

então [tex3]n+2009 \vert (n^2+2009n) - (n^2+2009) = 2009(n-1)[/tex3]

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[tex3]n+2009 \vert (n^2+2009n) - (n^2+2009) = 2009(n-1)[/tex3]

mas como [tex3]n + 2009 \vert2009 (n+2009)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n + 2009 \vert2009 (n+2009)[/tex3]

temos que
[tex3]n+2009 | 2009n + 2009^2 - 2009n + 2009 = 2009 \cdot 2010[/tex3]

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[tex3]n+2009 | 2009n + 2009^2 - 2009n + 2009 = 2009 \cdot 2010[/tex3]

analogamente:
[tex3]n + 2010 \vert (n^2 + 2010n) - (n^2+2010) = 2010(n-1)[/tex3]

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[tex3]n + 2010 \vert (n^2 + 2010n) - (n^2+2010) = 2010(n-1)[/tex3]

[tex3]n + 2010 \vert 2010 \cdot 2011[/tex3]

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[tex3]n + 2010 \vert 2010 \cdot 2011[/tex3]

a partir daqui eu só consigo ver um jeito de resolver que é encontrando todos os divisores desses números e vendo quais n resolvem os dois ao mesmo tempo, mas da uma trabalhinho braçal