Se xyz•(x+y+z)=1, prove que ((x^2+1/y^2)•(y^2+1/z^2)•(z^2+1/x^2))^(1/2)=(x+y)•(y+z)•(z+x).
Pessoal, eu achei essa questão muito difícil. Alguém para resolve-la?
Obrigado
Olimpíadas ⇒ Olimpiada Para 2013 Tópico resolvido
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dylanchan0910
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Jul 2019
28
14:26
Re: Olimpiada Para 2013
[tex3](x+y) = (x+y+z - z) = (x+y+z)-z[/tex3]
chame [tex3](x+y+z) =s[/tex3]
temos do lado direito:
[tex3](s-z)(s-x)(s-y) = s^3 - s^2(x+y+z) + s(xy+yz+xz) - xyz = s^3 - s^3 + s(xy+yz+xz) - xyz [/tex3]
[tex3]= s(xy + yz + xz) - xyz = sxyz(\frac1x + \frac1y+\frac1z) - xyz[/tex3]
mas [tex3]sxyz = 1[/tex3] pelo enunciado
[tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - xyz[/tex3]
[tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - \frac1{x+y+z}[/tex3]
A expansão completa do lado esquerdo sem tirar a raíz quadrada:
[tex3]x^2y^2z^2 + \frac1{x^2y^2z^2} + x^2 + \frac1{x^2}+y^2 + \frac1{y^2}+z^2 + \frac1{z^2}[/tex3]
elevando [tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - xyz[/tex3] ao quadrado talvez saia
de fato elevando essa expressão ao quadrado ficamos com [tex3][x^2y^2z^2 + \frac1{x^2} + \frac1{y^2} + \frac1{z^2}] +2(\frac1{xy}+\frac1{zy}+\frac1{xz} - xy-xz-zy)[/tex3]
a expressão no parenteses é [tex3]\frac{x+y+z}{xyz} - (xy+xz+zy) = \frac1{x^2y^2z^2} - (xy+xz+zy)[/tex3]
tiramos o [tex3]\frac1{x^2y^2z^2}[/tex3] sem esquecer que tem um 2 multiplicando ele:
[tex3][x^2y^2z^2 + \frac1{x^2y^2z^2} + \frac1{x^2} + \frac1{y^2} + \frac1{z^2}] +(\frac1{x^2y^2z^2} - 2(xy+xz+zy))[/tex3]
como [tex3]\frac1{x^2y^2z^2} = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xz+xy+zy)[/tex3]
chegamos que de fato
[tex3](x^2+\frac1{y^2})(y^2+\frac1{z^2})(z^2+\frac1{x^2}) = (\frac1x + \frac1y + \frac1z - \frac1{x+y+z})^2 = ((x+y)(x+z)(y+z))^2[/tex3]
desculpa se ficou muita conta, não vi uma forma mais inteligente
chame [tex3](x+y+z) =s[/tex3]
temos do lado direito:
[tex3](s-z)(s-x)(s-y) = s^3 - s^2(x+y+z) + s(xy+yz+xz) - xyz = s^3 - s^3 + s(xy+yz+xz) - xyz [/tex3]
[tex3]= s(xy + yz + xz) - xyz = sxyz(\frac1x + \frac1y+\frac1z) - xyz[/tex3]
mas [tex3]sxyz = 1[/tex3] pelo enunciado
[tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - xyz[/tex3]
[tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - \frac1{x+y+z}[/tex3]
A expansão completa do lado esquerdo sem tirar a raíz quadrada:
[tex3]x^2y^2z^2 + \frac1{x^2y^2z^2} + x^2 + \frac1{x^2}+y^2 + \frac1{y^2}+z^2 + \frac1{z^2}[/tex3]
elevando [tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z - xyz[/tex3] ao quadrado talvez saia
de fato elevando essa expressão ao quadrado ficamos com [tex3][x^2y^2z^2 + \frac1{x^2} + \frac1{y^2} + \frac1{z^2}] +2(\frac1{xy}+\frac1{zy}+\frac1{xz} - xy-xz-zy)[/tex3]
a expressão no parenteses é [tex3]\frac{x+y+z}{xyz} - (xy+xz+zy) = \frac1{x^2y^2z^2} - (xy+xz+zy)[/tex3]
tiramos o [tex3]\frac1{x^2y^2z^2}[/tex3] sem esquecer que tem um 2 multiplicando ele:
[tex3][x^2y^2z^2 + \frac1{x^2y^2z^2} + \frac1{x^2} + \frac1{y^2} + \frac1{z^2}] +(\frac1{x^2y^2z^2} - 2(xy+xz+zy))[/tex3]
como [tex3]\frac1{x^2y^2z^2} = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xz+xy+zy)[/tex3]
chegamos que de fato
[tex3](x^2+\frac1{y^2})(y^2+\frac1{z^2})(z^2+\frac1{x^2}) = (\frac1x + \frac1y + \frac1z - \frac1{x+y+z})^2 = ((x+y)(x+z)(y+z))^2[/tex3]
desculpa se ficou muita conta, não vi uma forma mais inteligente
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 28 Jul, 2019 16:05). Total de 4 vezes.
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