Olimpíadas ⇒ IIT JEE Números Complexos Tópico resolvido

[Babi123]

Seja [tex3]z=1+ai[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=1+ai[/tex3]

um número complexo, [tex3]a>0[/tex3]

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[tex3]a>0[/tex3]

tal que [tex3]z^3[/tex3]

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[tex3]z^3[/tex3]

é um número real, então a soma [tex3]1+z+z^2+z^3+...+z^{11}[/tex3]

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[tex3]1+z+z^2+z^3+...+z^{11}[/tex3]

é igual a:

Resposta

---

[tex3]-1365\sqrt{3}i[/tex3]

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[tex3]-1365\sqrt{3}i[/tex3]

[Ittalo25]

[tex3]z=1+ai[/tex3]

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[tex3]z=1+ai[/tex3]

[tex3]z^3= 1-a^3i+3ai-3a^2[/tex3]

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[tex3]z^3= 1-a^3i+3ai-3a^2[/tex3]

então: [tex3]-a^3+3a = 0 \rightarrow \boxed {a=\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]-a^3+3a = 0 \rightarrow \boxed {a=\sqrt{3}}[/tex3]

Ou seja: [tex3]z = 2cis(60^o) [/tex3]

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[tex3]z = 2cis(60^o) [/tex3]

[tex3]1+z+z^2+z^3+...+z^{11} = \frac{z^{12}-1}{z-1} = \frac{2^{12}cis(720^o)-1}{2cis(60^o)-1} = \frac{2^{12}-1}{i\sqrt{3}} =-1365i\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]1+z+z^2+z^3+...+z^{11} = \frac{z^{12}-1}{z-1} = \frac{2^{12}cis(720^o)-1}{2cis(60^o)-1} = \frac{2^{12}-1}{i\sqrt{3}} =-1365i\sqrt{3}[/tex3]

[csmarcelo]

Ittalo25,

[tex3]\sum_{i=0}^nz^i=\frac{z^{n-1}-1}{z-1}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=0}^nz^i=\frac{z^{n-1}-1}{z-1}[/tex3]

é uma identidade?

[Babi123]

csmarcelo, se a dúvida for: [tex3]1+z+z^2+...+z^{11}[/tex3]

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[tex3]1+z+z^2+...+z^{11}[/tex3]

, isso é uma P.G de razão [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

, logo:
[tex3]S=\frac{1(z^{12}-1)}{z-1}\implies S=\frac{z^{12}-1}{z-1}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{1(z^{12}-1)}{z-1}\implies S=\frac{z^{12}-1}{z-1}[/tex3]

Não sei se exatamente isso sua dúvida.

[csmarcelo]

Babi123, mas que burro!

[Babi123]

Relaxa csmarcelo.