Seja [tex3]a\neq 1[/tex3]
[tex3]\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{a^4}\right)...\left(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex3]
.
um número real. Simplifique a expressão Olimpíadas ⇒ Produtos Notáveis (POTI) N2 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2019
08
16:53
Re: Produtos Notáveis (POTI) N2
[tex3]E=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{a^4}\right)...\left(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex3]
Multiplicando por [tex3]\frac{\(1-\frac{1}{a}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}[/tex3] , segue que:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)...\(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(1-\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)\ ... \ \(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\[/tex3]
Note que isso vai gerar várias diferenças de quadrados restando apenas:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(\frac{a^{2^{100}}-1}{a^{2^{100}}}\)}{\frac{a-1}{a}}[/tex3]
att>>rodBR
Multiplicando por [tex3]\frac{\(1-\frac{1}{a}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}[/tex3] , segue que:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)...\(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(1-\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)\ ... \ \(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\[/tex3]
Note que isso vai gerar várias diferenças de quadrados restando apenas:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(\frac{a^{2^{100}}-1}{a^{2^{100}}}\)}{\frac{a-1}{a}}[/tex3]
att>>rodBR
Última edição: rodBR (Seg 08 Jul, 2019 17:03). Total de 1 vez.
Razão: corrigir parte final da resolução.
Razão: corrigir parte final da resolução.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Dez 2019
26
17:21
Re: Produtos Notáveis (POTI) N2
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a^{2^{100}}}\)\cdot\(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{1^2-\(\frac{1}{a^{2^{100}}}\)^2}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1^2}{(a^{2^{100}})^2}}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1}{a^{2^{100}\cdot2}}}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\frac{1}{a}}\\
\boxed{\boxed{E=\frac{1-a^{-2^{101}}}{1-a^{-1}}}}[/tex3]
Só corrigindo o final...
E=\frac{1^2-\(\frac{1}{a^{2^{100}}}\)^2}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1^2}{(a^{2^{100}})^2}}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1}{a^{2^{100}\cdot2}}}{1-\frac{1}{a}}\\
E=\frac{1-\frac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\frac{1}{a}}\\
\boxed{\boxed{E=\frac{1-a^{-2^{101}}}{1-a^{-1}}}}[/tex3]
Só corrigindo o final...
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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