Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Babi123** » Qua 03 Jul, 2019 18:05

Seja [tex3]z[/tex3] um número complexo tal que [tex3]z+\frac{1}{z}=2\cos3^o[/tex3] . Determine o menor inteiro maior que [tex3]z^{2000}+\frac{1}{z^{2000}}[/tex3] .

[tex3]z + \frac1z[/tex3] é um número real.
Logo se [tex3]z = a + bi[/tex3] então [tex3]\frac1z = c - bi[/tex3]
multiplique os dois
[tex3]1 = (a+bi)(c-bi) \iff 1 = ac+b^2 + i\cdot b(c-a)[/tex3]
oras devemos ter então [tex3]a=c[/tex3] para a parte complexa ser zero ou [tex3]b=0[/tex3] e [tex3]z[/tex3] ser real. A última parte não pode ser verdade, pois a desigualdade das médias garante que a soma é maior que 2.
logo: [tex3]\frac1z = \overline z \iff |z|=1 \iff z = \cis \theta[/tex3] no caso [tex3]\theta = 3^o[/tex3]
logo [tex3]z^{2000} = \cis (2000 \cdot 3) = \cis (6000) = \cis (240)[/tex3]
logo
[tex3]z^{2000} + \frac1{z^{2000}} = 2 \cos (240) = 1[/tex3]
o menor inteiro maior que 1 é 2

E generalizando o que o sousóeu mostrou

[tex3]z^n+\overline{z}^n=2\cos(n\theta)[/tex3] quando [tex3]|z|=1[/tex3]

E também

[tex3]z^n-\overline{z}^n=2i\sen(n\theta)[/tex3] quando [tex3]|z|=1[/tex3]

Muito útil pra algumas questões de trigonometria

Essa questão é um exemplo viewtopic.php?f=3&t=73506

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