Olimpíadas

Seja [tex3]A[/tex3] um número natural maior que [tex3]1[/tex3] , e seja [tex3]B[/tex3] um número natural que é um divisor de [tex3]A^2+1[/tex3] . Prove que se [tex3]B-A>0[/tex3] , então [tex3]B-A>\sqrt{A}[/tex3] .

Matheusp60,
É dado que [tex3]A,B \in \mathbb N[/tex3] e [tex3]B \mid (A^2+1)[/tex3] e [tex3]B>A>1[/tex3] . Se B=A+d, [tex3]d \le \sqrt{A}[/tex3] , então B divide tanto [tex3]A^2+1[/tex3] quanto [tex3](A+d)(A-d)=A^2-d^2[/tex3] . Daí, [tex3]B \mid (d^2+1)[/tex3] e [tex3]d^2+1 \le A+1[/tex3] . Isso só é possível se [tex3]d=\sqrt{A}[/tex3] , e [tex3]B=A+1[/tex3] . Mas A+1 divide [tex3]A^2 \pm 1[/tex3] e 2 ao mesmo tempo, o que é impossível para A>1.
Assim, se B=A+d divide [tex3]A^2+1[/tex3] para um certo d>0, então [tex3]d>\sqrt{A}[/tex3] .[tex3]\blacksquare[/tex3]

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