OlimpíadasGeometria plana - Problema 27 Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Geometria plana - Problema 27

Mensagem não lida por jvmago »

Em um [tex3]\Delta ABC[/tex3] , equilátero, traçam-se as alturas [tex3]AM[/tex3] e [tex3]BH[/tex3] que se encontrarão no ponto [tex3]R[/tex3] .

Sabendo-se que a distancia entre os incentros dos [tex3]\Delta ARH[/tex3] e [tex3]\Delta HRM[/tex3] vale [tex3]\frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+9(2
-\sqrt{3})^2}}{3}[/tex3] determine o lado desse triangulo





[tex3]Prepare[/tex3] [tex3]for [/tex3] [tex3]battle[/tex3]

Última edição: Jigsaw (Sex 28 Fev, 2020 19:24). Total de 1 vez.
Razão: readequação do texto da mensagem


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Geometria plana - Problema 27

Mensagem não lida por jvmago »

IMG_20190615_113333814.jpg
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Re: Geometria plana - Problema 27

Mensagem não lida por jvmago »

Apesar do resultado feio, a questão em si é bem tranquila desde que você mantenha a calma. A única função dela é ASSUSTAR, nunca deixe ser intimidado!!

A primeira conclusão rapida e imediata é que [tex3]R[/tex3] é baricentro, isso praticamente mata a questão!!!!

Vamos chamar de [tex3]l=2a[/tex3] o lado do triangulo, [tex3]O[/tex3] e [tex3]O'[/tex3] os centros das circunferencias menor e maior, e [tex3]BH=h[/tex3]

Ao som de (https://www.youtube.com/watch?v=S19UcWdOA-I ) PARTIU!!

Pela formula da altura:

[tex3]h=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}[/tex3]

Pela proporção do baricentro

[tex3]RH=RM=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]RA=BR=\frac{2a\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Ponceliet no [tex3]\Delta AHR[/tex3] temos :

[tex3]a+\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}+2R[/tex3]
[tex3]R=\frac{a(3-\sqrt{3})}{6}[/tex3]

Seja [tex3]K[/tex3] o ponto médio de [tex3]MH[/tex3] então : [tex3]RK=r+OR[/tex3]
Seja [tex3]L[/tex3] o potno de tangencia tal que seja formado o triangulo retangulo [tex3]\Delta ROL[/tex3] por trigonometria tiramos:

[tex3]OR=\frac{2r\sqrt{3}}{3}[/tex3] portanto [tex3]RK=\frac{2r\sqrt{3}+3r}{3}[/tex3]

Por trigometria no [tex3]\Delta RMK[/tex3] :

[tex3]\frac{2r\sqrt{3}+3r}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex3]
[tex3]2r+\sqrt{3}r=\frac{a}{2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{a}{2(2+\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]r=\frac{a(2-\sqrt{3})}{2}[/tex3]

Olhando o [tex3]\Delta ROO' [/tex3] vemos que este é retangulo usando pitagoras teremos:
[tex3]a^2(\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4}+\frac{(3-\sqrt{3})^2}{36})=\frac{1}{9}*((3-\sqrt{3})^2+9(2-\sqrt{3})^2[/tex3] COOOOOOOOOOOOOOOOOOORTEI!

[tex3]\frac{a^2}{36}=\frac{1}{9}[/tex3]
[tex3]a=2[/tex3]
[tex3]l=4[/tex3]


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Re: Geometria plana - Problema 27

Mensagem não lida por jvmago »

Acabei de notar que o enunciado ainda está errado se algum moderador puder corrigir, a expressão correta é [tex3]\frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+9(2
-\sqrt{3})^2}}{3}[/tex3]


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Geometria plana - Problema 27

Mensagem não lida por Jigsaw »

jvmago escreveu:
Sáb 15 Jun, 2019 12:02
Acabei de notar que o enunciado ainda está errado se algum moderador puder corrigir, a expressão correta é [tex3]\frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+9(2
-\sqrt{3})^2}}{3}[/tex3]
jvmago, modifiquei o enunciado, conforme solicitação, FAVOR VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO AGORA.




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