Olimpíadas ⇒ (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
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05
19:21
(IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
Seja ABC um triângulo tal que AB+BC=3AC. Sejam I o seu incentro e D e E os pontos de tangência daa circunferência inscrita com os lados AB e BC, respectivamente. Além disso, sejam K e L os simétricos de D e E com relação ao incentro I. Prove que o quadrilátero ACKL é inscritivel
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Jun 2019
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21:48
Re: (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
Não sei resolver, mas aqui tem algumas trivialidades:
[tex3]BD = BE = AC [/tex3]
[tex3]KLDE[/tex3] é retângulo. Se você provar que a reta KL encontra a reta AI na polar A em relação ao incírculo o problema meio que acaba mas é bem acima do nível da lista esse daí
[tex3]BD = BE = AC [/tex3]
[tex3]KLDE[/tex3] é retângulo. Se você provar que a reta KL encontra a reta AI na polar A em relação ao incírculo o problema meio que acaba mas é bem acima do nível da lista esse daí
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Jun 2019
05
22:35
Re: (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
[tex3]"BD = BE = AC"[/tex3]
BD=BE realmente é trivial, mas BD=AC eu não me liguei, pelo meu desenho ficou muito desproporcional-
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Abr 2020
20
07:43
Re: (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
Sabemos que [tex3]E''[/tex3] é o ponto de tangência de [tex3]w_C[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] por conta da homotetia centrada em [tex3]C[/tex3] que leva o incírculo de [tex3]\triangle ABC[/tex3] a [tex3]w_C[/tex3] .
Como [tex3]AE'' = TA = p-b = b[/tex3] logo [tex3]\triangle ACE''[/tex3] é isósceles em [tex3]A[/tex3] e portanto [tex3]\angle ACK = 90^{\degree} - \frac{\angle A}2[/tex3] .
Como [tex3]\angle AIK = 90 + \frac{\angle A}2[/tex3] :
Seja [tex3]F[/tex3] o ponto de contato do incírculo de [tex3]\triangle ABC[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] então
[tex3]\angle AIK = \angle AIF + \angle FIK = (90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + \angle FIK = [/tex3]
[tex3](90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + \angle FIE - \angle EFK = (90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + (180^{\degree} - \angle C) - 2\cdot \angle KDE =[/tex3]
[tex3]= 90^{\degree} - \frac{\angle A}2 + (180^{\degree} - \angle C - \angle B) = 90 + \frac{\angle A}2 [/tex3]
então quadrilátero [tex3]AIKC[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle ACK + \angle AIK = 180^{\degree}[/tex3] .
Analogamente o quadrilátero [tex3]AILC[/tex3] é cíclico, logo [tex3]AKLC[/tex3] é cíclico.
Uma série de simetrias decorre deste fato.
Última edição: Auto Excluído (ID:24303) (Seg 20 Abr, 2020 08:05). Total de 2 vezes.
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22
14:11
Re: (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
A prova da homotetia a qual me referi viewtopic.php?f=3&t=45510
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Abr 2020
22
16:00
Re: (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível
Vou analisar sua resolução e depois volto aqui, tem um tempinho q n estudo geometria plana kkk
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