Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense – 1989) àrea Tópico resolvido

[rean]

Determine a área de um hexágono convexo que está inscrito em um círculo e tem três lados consecutivo iguais a 3cm e o outros três com comprimentos iguais a 2cm.

imagem mmm.GIF (2.72 KiB) Exibido 2438 vezes

Resposta

---

[tex3]\frac{33\sqrt {3}}{2}\text{cm}^2[/tex3]

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[tex3]\frac{33\sqrt {3}}{2}\text{cm}^2[/tex3]

[triplebig]

rean, eu fiz e deu uma resposta diferente, se vc precisar ou quiser ver a resolução me diga, que eu coloco.

Abraços

[rean]

pod mandar que eu quero conferir com a minha.
mas no gabarito é essa aí

obrigdo

[triplebig]

Circle.jpg (19.64 KiB) Exibido 2204 vezes

Chamemos os ângulos [tex3]C\hat A D[/tex3] de [tex3]x[/tex3] e [tex3]G\hat AF[/tex3] de [tex3]y[/tex3]. Temos que [tex3]3x+3y=360\Longleftright x+y=120[/tex3]. Com isso [tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]. Pelos arcos, temos que [tex3]\beta = 120^\circ[/tex3]. Com isso temos as áreas dos triângulos [tex3]\triangle EFD\text{ e }\triangle BCG[/tex3]. Resta achar a área do quadrilátero [tex3]CDFG[/tex3].

Cálculo de [tex3]EF[/tex3] pela lei dos cosenos em [tex3]CDFG[/tex3]:

[tex3]FD^2=3^2+2^2-2(6)\cos 120^\circ\\ FD=\sqrt{19}[/tex3]

Por simetria, no quadrilátero [tex3]CDFG[/tex3], [tex3]\overline{CD}\parallel \overline{FG}[/tex3] . Cálculo na altura deste trapézio:

[tex3]h^2+\(\frac{3-2}{2}\)^2=19\\h=\frac{5\sqrt{3}}{2}[/tex3]

A área do hexágono:

[tex3]A=[CDFG]+2[EFD]\\ \text{ }=\frac{3+2}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}+2\(\frac{1}{2}\text{sen}120^\circ\cdot3\cdot2\)\\ \text{ }=\frac{25\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{3}\\ \text{ }=\boxed{\frac{37\sqrt{3}}{4}}[/tex3]

[matbatrobin]

Rean e triplebig achei uma resolução diferente de um livro em que as duas respostas estavam erradas.

Seja O o centro da circunferência circunscrita ao hexágono ABCDEF. Tome [tex3]{AB}={BC}={CD}=3cm[/tex3]

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[tex3]{AB}={BC}={CD}=3cm[/tex3]

e [tex3]{DE}={EF}={FA}=2cm[/tex3]

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[tex3]{DE}={EF}={FA}=2cm[/tex3]

.

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Sejam [tex3]A\hat{O}B=B\hat{O}C=C\hat{O}D=\alpha[/tex3]

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[tex3]A\hat{O}B=B\hat{O}C=C\hat{O}D=\alpha[/tex3]

e [tex3]D\hat{O}E=E\hat{O}F=F\hat{O}A=\beta[/tex3]

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[tex3]D\hat{O}E=E\hat{O}F=F\hat{O}A=\beta[/tex3]

. Temos [tex3]3\alpha +3\beta=360^{\circ}.[/tex3]

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[tex3]3\alpha +3\beta=360^{\circ}.[/tex3]

Daí, concluímos que [tex3]B\hat{O}F=120^{\circ}[/tex3]

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[tex3]B\hat{O}F=120^{\circ}[/tex3]

e [tex3]B\hat{A}F=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=120^{\circ}[/tex3]

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[tex3]B\hat{A}F=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=120^{\circ}[/tex3]

.

No triângulo [tex3]ABF[/tex3]

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[tex3]ABF[/tex3]

, pela lei dos cossenos, temos: [tex3](BF)^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot (\frac{-1}{2})=19[/tex3]

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[tex3](BF)^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot (\frac{-1}{2})=19[/tex3]

.

No triângulo [tex3]BOF[/tex3]

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[tex3]BOF[/tex3]

, denotando por [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

o raio da circunferência, temos [tex3](BF)^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot (\frac{-1}{2})=3R^2[/tex3]

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[tex3](BF)^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot (\frac{-1}{2})=3R^2[/tex3]

.

Logo, [tex3]3R^2=19\Rightarrow R=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]3R^2=19\Rightarrow R=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}[/tex3]

.

Observe que a área do hexágono ABCDEF é 3 vezes a área do quadrilátero ABOF, de modo que fica:

[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot (A_{ABF}+A_{BOF}) \\ A_{ABCDEF}=3\cdot (\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot sen120^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot sen120^{\circ}) \\ \boxed{A_{ABCDEF}=\frac{37\sqrt{3}}{2}cm^2}[/tex3]

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[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot (A_{ABF}+A_{BOF}) \\ A_{ABCDEF}=3\cdot (\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot sen120^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot sen120^{\circ}) \\ \boxed{A_{ABCDEF}=\frac{37\sqrt{3}}{2}cm^2}[/tex3]

[triplebig]

[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot (A_{ABF}+A_{BOF}) \\ A_{ABCDEF}=3\cdot (\boxed{\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot sen120^{\circ}}+\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot sen120^{\circ}) \\ \boxed{A_{ABCDEF}=\frac{23\sqrt{3}}{2}cm^2}[/tex3]

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[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot (A_{ABF}+A_{BOF}) \\ A_{ABCDEF}=3\cdot (\boxed{\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot sen120^{\circ}}+\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot sen120^{\circ}) \\ \boxed{A_{ABCDEF}=\frac{23\sqrt{3}}{2}cm^2}[/tex3]

Apenas um do lado do triangulo [tex3]ABF[/tex3]

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[tex3]ABF[/tex3]

e [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

, o outro lado vale [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

. Assim ficaria:

[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot\(\frac{1}{2}\cdot3\cdot2\cdot\text{sen}120^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot\text{sen}120^\circ\)=\frac{18\sqrt{3}}{4}+\frac{19\sqrt{3}}{4}=\boxed{\frac{37\sqrt{3}}{4}}[/tex3]

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[tex3]A_{ABCDEF}=3\cdot\(\frac{1}{2}\cdot3\cdot2\cdot\text{sen}120^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot\text{sen}120^\circ\)=\frac{18\sqrt{3}}{4}+\frac{19\sqrt{3}}{4}=\boxed{\frac{37\sqrt{3}}{4}}[/tex3]