Menor Medida do Lado de um Triângulo
Enviado: Ter 28 Mai, 2019 21:34
(Suécia-64) Determine o valor dos lados de um triângulo ABC com área S e ângulo BÂC=x, de modo que o lado BC seja o menor possível.
[tex3]2S = bc \sen x[/tex3]
[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos x = b^2 + c^2 -4\frac{S}{\tg x}[/tex3]
minimizar [tex3]a[/tex3]
é minimizar [tex3]b^2 + c^2[/tex3]
dado o produto deles.
A desigualdade das médias nos diz que [tex3]b^2 + c^2 \geq 2bc = \frac{4S}{\sen x}[/tex3]
então o valor mínimo da soma é [tex3]\frac{4S}{\sen x}[/tex3]
e ocorre no mesmo mínimo da desigualdade das médias, quando [tex3]b=c = \frac{ \sqrt{2S}}{\sqrt{\sen x}}[/tex3]
e então [tex3]a^2=\frac{4S}{\sen x}(1- \cos x)[/tex3]
você provavelmente pode usar: [tex3]\cos x = 1 - 2 \sen ^2 \frac x2[/tex3]
e [tex3]\sen x = 2\sen \frac x2 \cos \frac x2[/tex3]
pra deixar a expressão mais bonita