Olimpíadas ⇒ Menor Medida do Lado de um Triângulo Tópico resolvido

[geobson]

(Suécia-64) Determine o valor dos lados de um triângulo ABC com área S e ângulo BÂC=x, de modo que o lado BC seja o menor possível.

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[tex3]2S = bc \sen x[/tex3]

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[tex3]2S = bc \sen x[/tex3]

[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos x = b^2 + c^2 -4\frac{S}{\tg x}[/tex3]

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[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos x = b^2 + c^2 -4\frac{S}{\tg x}[/tex3]

minimizar [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é minimizar [tex3]b^2 + c^2[/tex3]

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[tex3]b^2 + c^2[/tex3]

dado o produto deles.
A desigualdade das médias nos diz que [tex3]b^2 + c^2 \geq 2bc = \frac{4S}{\sen x}[/tex3]

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[tex3]b^2 + c^2 \geq 2bc = \frac{4S}{\sen x}[/tex3]

então o valor mínimo da soma é [tex3]\frac{4S}{\sen x}[/tex3]

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[tex3]\frac{4S}{\sen x}[/tex3]

e ocorre no mesmo mínimo da desigualdade das médias, quando [tex3]b=c = \frac{ \sqrt{2S}}{\sqrt{\sen x}}[/tex3]

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[tex3]b=c = \frac{ \sqrt{2S}}{\sqrt{\sen x}}[/tex3]

e então [tex3]a^2=\frac{4S}{\sen x}(1- \cos x)[/tex3]

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[tex3]a^2=\frac{4S}{\sen x}(1- \cos x)[/tex3]

você provavelmente pode usar: [tex3]\cos x = 1 - 2 \sen ^2 \frac x2[/tex3]

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[tex3]\cos x = 1 - 2 \sen ^2 \frac x2[/tex3]

e [tex3]\sen x = 2\sen \frac x2 \cos \frac x2[/tex3]

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[tex3]\sen x = 2\sen \frac x2 \cos \frac x2[/tex3]

pra deixar a expressão mais bonita

[geobson]

Excelente ! Muito agradecido pela sua resolução .