Já tentei várias vezes mas não consegui chegar ao resultado, por favor , peço ajuda a meus amigos do fórum
(austrália-1993) Em um triângulo acutângulo ABC, sejam D, E e F os pés das alturas tiradas desde A, B e C ,respectivamente , e H o ortocentro. prove que : AH/AD +BH/BE +CH/CF = 2
Olimpíadas ⇒ Ortocentro de um Acutângulo Tópico resolvido
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Auto Excluído (ID:12031)
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Mai 2019
27
21:02
Re: Ortocentro de um Acutângulo
seja [tex3]O[/tex3]
o circuncentro, [tex3]M_A,M_B,M_C[/tex3]
pontos médios dos lados [tex3]a,b,c[/tex3]
respectivamente:
[tex3]AH = 2OM_A[/tex3] é um resultado conhecido. (vem da homotetia entre o triângulo medial e o triângulo original)
queremos:
[tex3]\sum \frac{2OM_i}{h_i}[/tex3]
onde [tex3]a_ih_i = 2S[/tex3] :
[tex3]\sum \frac{a_i2OM_i}{2S} = \frac1S\sum a_iOM_i [/tex3]
e é fácil ver que [tex3]\sum a_i OM_i = 2S[/tex3] pois é a soma do dobro das areas dos triângulos [tex3]\Delta OBC, \Delta OBA, \Delta OCA[/tex3]
[tex3]AH = 2OM_A[/tex3] é um resultado conhecido. (vem da homotetia entre o triângulo medial e o triângulo original)
queremos:
[tex3]\sum \frac{2OM_i}{h_i}[/tex3]
onde [tex3]a_ih_i = 2S[/tex3] :
[tex3]\sum \frac{a_i2OM_i}{2S} = \frac1S\sum a_iOM_i [/tex3]
e é fácil ver que [tex3]\sum a_i OM_i = 2S[/tex3] pois é a soma do dobro das areas dos triângulos [tex3]\Delta OBC, \Delta OBA, \Delta OCA[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 27 Mai, 2019 21:04). Total de 1 vez.
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