Álgebra
Enviado: Sáb 25 Mai, 2019 12:35
Sendo [tex3]a[/tex3]
um número real positivo, encontre o valor máximo de [tex3]\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]
Pode usar cálclulo?
Fórum TutorBrasil - Matemática, Português, Física, Química e Biologia
Fórum de Matemática, Português, Física, Química e Biologia para o vestibular, ensinos fundamental, médio e superior, concursos públicos e olimpíadas.
https://www.tutorbrasil.com.br/forum/
Álgebra
https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=20&t=73477
Página 1 de 1
Re: Álgebra
Enviado: Sáb 25 Mai, 2019 13:12
Re: Álgebra
Enviado: Sáb 25 Mai, 2019 13:29
fazendo [tex3]f(x)=\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]
como trata de olimpídada então vou aloprar em calculo mesmo
[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+a^2)^2-x*2(x^2+a^2)*(2x+0)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] vamos buscar as raizes dessa primeira derivada e analisar como seus sinais se comportam
[tex3]f'(x)=0=\frac{(x^2+a^2)(x^2+a^2-4x^2)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] podemos ver com facilidade que [tex3]x^2+a^2>0[/tex3] para qualquer valor real então precisamos analisar
[tex3]a^2-4x^2+x^2=0[/tex3]
[tex3]3x^2-a^2=0[/tex3] daqui tiramos [tex3]x=+-\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex3]
como se trata de uma funçao quadratica temos que para [tex3]x_0=\frac{-a}{\sqrt{3}}[/tex3] [tex3]f(x_0)[/tex3] assumirá valor máximo portanto
[tex3]f(x_0)=K=\frac{\frac{-a}{\sqrt{3}}}{(\frac{a^2}{3}+a^2)^2}[/tex3]
[tex3]K=\frac{-a\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16a^4}[/tex3]
[tex3]f(x_0)=\frac{-3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+a^2)^2-x*2(x^2+a^2)*(2x+0)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] vamos buscar as raizes dessa primeira derivada e analisar como seus sinais se comportam
[tex3]f'(x)=0=\frac{(x^2+a^2)(x^2+a^2-4x^2)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] podemos ver com facilidade que [tex3]x^2+a^2>0[/tex3] para qualquer valor real então precisamos analisar
[tex3]a^2-4x^2+x^2=0[/tex3]
[tex3]3x^2-a^2=0[/tex3] daqui tiramos [tex3]x=+-\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex3]
como se trata de uma funçao quadratica temos que para [tex3]x_0=\frac{-a}{\sqrt{3}}[/tex3] [tex3]f(x_0)[/tex3] assumirá valor máximo portanto
[tex3]f(x_0)=K=\frac{\frac{-a}{\sqrt{3}}}{(\frac{a^2}{3}+a^2)^2}[/tex3]
[tex3]K=\frac{-a\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16a^4}[/tex3]
[tex3]f(x_0)=\frac{-3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Re: Álgebra
Enviado: Qui 06 Jun, 2019 23:56
Alguém sabe essa sem derivar?
Re: Álgebra
Enviado: Qui 08 Ago, 2019 13:35
Sem derivar deve ser bem desafiador. 
Re: Álgebra
Enviado: Qui 08 Ago, 2019 16:12
x é um número qualquer. Então podemos fazer [tex3]x=a*tg(y)[/tex3]
[tex3]\frac{a.tg(y)}{a^4.sec^4(y)}=\frac{sen(y)cos^3(y)}{a^3}[/tex3]
Então queremos maximizar [tex3]sen(y)cos^3(y)=u^3\sqrt{1-u^2}=p[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+1-u^2}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{u^6}{27}(1-u^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4} \geq\sqrt[4]{\frac{p^2}{27}} \rightarrow p^2 \leq \frac{27}{256} \rightarrow p \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]
Segue que o máximo da função pedida é [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]\frac{a.tg(y)}{a^4.sec^4(y)}=\frac{sen(y)cos^3(y)}{a^3}[/tex3]
Então queremos maximizar [tex3]sen(y)cos^3(y)=u^3\sqrt{1-u^2}=p[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+1-u^2}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{u^6}{27}(1-u^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4} \geq\sqrt[4]{\frac{p^2}{27}} \rightarrow p^2 \leq \frac{27}{256} \rightarrow p \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]
Segue que o máximo da função pedida é [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
Re: Álgebra
Enviado: Qui 08 Ago, 2019 16:19
Ooooooh looooooko 
.
Grata undefinied3 pela solução!
.Grata undefinied3 pela solução!