OlimpíadasÁlgebra Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Mai 2019 25 12:35

Álgebra

Mensagem não lida por Babi123 » Sáb 25 Mai, 2019 12:35

Sendo [tex3]a[/tex3] um número real positivo, encontre o valor máximo de [tex3]\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]




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jvmago
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Mai 2019 25 13:12

Re: Álgebra

Mensagem não lida por jvmago » Sáb 25 Mai, 2019 13:12

Babi123 escreveu:
Sáb 25 Mai, 2019 12:35
Sendo [tex3]a[/tex3] um número real positivo, encontre o valor máximo de [tex3]\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]
Pode usar cálclulo?



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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jvmago
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Mai 2019 25 13:29

Re: Álgebra

Mensagem não lida por jvmago » Sáb 25 Mai, 2019 13:29

fazendo [tex3]f(x)=\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3] como trata de olimpídada então vou aloprar em calculo mesmo

[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+a^2)^2-x*2(x^2+a^2)*(2x+0)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] vamos buscar as raizes dessa primeira derivada e analisar como seus sinais se comportam

[tex3]f'(x)=0=\frac{(x^2+a^2)(x^2+a^2-4x^2)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] podemos ver com facilidade que [tex3]x^2+a^2>0[/tex3] para qualquer valor real então precisamos analisar

[tex3]a^2-4x^2+x^2=0[/tex3]
[tex3]3x^2-a^2=0[/tex3] daqui tiramos [tex3]x=+-\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex3]

como se trata de uma funçao quadratica temos que para [tex3]x_0=\frac{-a}{\sqrt{3}}[/tex3] [tex3]f(x_0)[/tex3] assumirá valor máximo portanto

[tex3]f(x_0)=K=\frac{\frac{-a}{\sqrt{3}}}{(\frac{a^2}{3}+a^2)^2}[/tex3]
[tex3]K=\frac{-a\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16a^4}[/tex3]
[tex3]f(x_0)=\frac{-3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]

[tex3]PIMBADA[/tex3]
Última edição: jvmago (Sáb 25 Mai, 2019 13:31). Total de 1 vez.


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snooplammer
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Jun 2019 06 23:56

Re: Álgebra

Mensagem não lida por snooplammer » Qui 06 Jun, 2019 23:56

Alguém sabe essa sem derivar?



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Re: Álgebra

Mensagem não lida por Babi123 » Qui 08 Ago, 2019 13:35

Sem derivar deve ser bem desafiador. :shock:
Última edição: Babi123 (Qui 08 Ago, 2019 13:36). Total de 1 vez.



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Re: Álgebra

Mensagem não lida por undefinied3 » Qui 08 Ago, 2019 16:12

x é um número qualquer. Então podemos fazer [tex3]x=a*tg(y)[/tex3]

[tex3]\frac{a.tg(y)}{a^4.sec^4(y)}=\frac{sen(y)cos^3(y)}{a^3}[/tex3]

Então queremos maximizar [tex3]sen(y)cos^3(y)=u^3\sqrt{1-u^2}=p[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+1-u^2}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{u^6}{27}(1-u^2)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4} \geq\sqrt[4]{\frac{p^2}{27}} \rightarrow p^2 \leq \frac{27}{256} \rightarrow p \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]

Segue que o máximo da função pedida é [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Re: Álgebra

Mensagem não lida por Babi123 » Qui 08 Ago, 2019 16:19

Ooooooh looooooko :shock: :shock: :D .
Grata undefinied3 pela solução!




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