Olimpíadas

Mensagem não lidapor **jvmago** » Sáb 25 Mai, 2019 11:31

Sangaku 1

: 15587945820002060561240.jpg (35.79 KiB) Exibido 2182 vezes

Se [tex3]AB=AC[/tex3] e seja [tex3]a,b,c[/tex3] os raios das circunferência da maior para a menor, determine [tex3]b[/tex3] em função de [tex3]c[/tex3]

A dica da vez é trigonometria!!

seja [tex3]X[/tex3] o ponto de encontro do incírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3] com a altura [tex3]AH[/tex3] a partir do vértice [tex3]A[/tex3] em relação ao lado [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]\Delta BDH[/tex3] é isósceles [tex3]\angle AHD = \angle XHD = 90 - (90 - \frac B2) = \frac B2 = \angle XHE[/tex3]
logo [tex3]\angle XDE = \frac B2[/tex3] e portanto [tex3]XD[/tex3] e [tex3]XE[/tex3] são bissetrizes do [tex3]\Delta ADE[/tex3] logo [tex3]X[/tex3] é centro do círculo médio.
Logo [tex3]b = 2c[/tex3] .

dá para achar a altura do triângulo isósceles:
[tex3]\frac ba = 1 - \frac{(2a-b)}{h}[/tex3]
[tex3]\frac{(2a-b)}h = \frac{a-b}a \iff h = \frac{a(2a-b)}{a-b}[/tex3] é o valor de [tex3]AH[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 12:25 · Mensagem não lida por **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 12:25

Lol desse jeito o resultado sai bem mais natural!! Ainda hj posto minha saída

Mensagem não lidapor **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 12:35 · Mensagem não lida por **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 12:35

Aliás, vou pegar esse resultado da altura e anotar no tomo

jvmago escreveu: ↑
Dom 26 Mai, 2019 12:35
Aliás, vou pegar esse resultado da altura e anotar no tomo

com a altura dá pra calcular os lados também, o triângulo isósceles fica completamente resolvido se forem dados [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]

sousóeu, você é muito brabo, onde conseguiu aprender geometria plana no nível que está hoje? Nunca fui fã da plana, sempre tentava resolver as questões utilizando analítica, e uma das grandes motivações pra me aprofundar em complexos é a utilização dela pra resolver problemas de geometria plana, kkkkkjj. Mas, comecei a tomar gosto pela plana, mesmo sendo muito carteada em algumas questões, hahaha. Se tiver alguma dica de material pra falar, agradeço e acho que outros também irão

snooplammer, Eu não peguei uma fonte única, meu começo foi perto de 2013, com um pdf muito básico da OBM (que eu não encontro mais) que dava as bases da geometria plana para esses exercícios de olímpiada (mostrava na ida e volta que a mediatriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de outros dois, que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas, que as tangentes a um círculo tem o mesmo tamanho, etc...).
Eu sempre achei estranho como resolviam problemas difíceis de geometria de uma forma rápida então decidir "ir a fundo" (não que eu seja um expert em geometria) pra descobrir o segredo e ai fui lendo vários textos isolados sobre geometria plana e a maior parte do que eu sei é um acumulado de exercícios e teoremas que eu vi em pdfs separados, em blogs, no gogeometry e respostas do AOPS. No final das contas não tem segredo, a geometria plana é meio que um análogo a fazer speedrun de um videogame: você gasta muito tempo pra conseguir fazer as coisas do jeito mais rápido possível. Tem muito resultado que você têm que guardar no bolso pra resolver esse problemas, se quiser depois eu posso te passar no privado algum material que eu já tenha usado

Entendi.

sousóeu escreveu: ↑
Dom 26 Mai, 2019 13:17
se quiser depois eu posso te passar no privado algum material que eu já tenha usado

Ok, vou querer sim, obrigado.

Mensagem não lidapor **Planck** » Dom 26 Mai, 2019 13:32 · Mensagem não lida por **Planck** » Dom 26 Mai, 2019 13:32

sousóeu escreveu: ↑
Dom 26 Mai, 2019 13:17
com um pdf muito básico da OBM (que eu não encontro mais) que dava as bases da geometria plana para esses exercícios de olímpiada

Tem um site que encontrei há pouco tempo: https://portaldosaber.obmep.org.br/inde ... /index?a=1. Tem aulas da maioria dos assuntos da matemática, desde o fundamental até tópicos avançados para olimpíadas.

Esse módulo, por exemplo, é um tópico do 9º ano, sobre Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Possui exercícios e PDF's no nível que o sousóeu mencionou.

sousóeu escreveu: ↑
Dom 26 Mai, 2019 13:17
se quiser depois eu posso te passar no privado algum material que eu já tenha usado

Se possível, pode me enviar também? Agradeço muito!

Mensagem não lidapor **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 13:51 · Mensagem não lida por **jvmago** » Dom 26 Mai, 2019 13:51

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Apresentar minha solução, que pode ser um boa definição de "Acredite que pode dar certo

"

Começamos marcando os pontos [tex3]N,L,P,Q,H,O,M[/tex3] onde [tex3]L[/tex3] é o centro da circunferencia menor, [tex3]P[/tex3] o centro da cirucnferencia media, [tex3]Q[/tex3] o ponto de contato entra a menor e a média, [tex3]H[/tex3] o pé da altura [tex3]AH[/tex3] e [tex3]M[/tex3] o pe da altura [tex3]AM[/tex3]

Feito isso partiu ao som de https://www.youtube.com/watch?v=lsmnIzs8j0g

Vou utilizar mais trigonometria do que geometria nesse problema portanto apenas CONFIE....

Vamos definir [tex3]BaC=2\theta[/tex3] portanto [tex3]MaC=\theta[/tex3] \theta

Traçaremos [tex3]OE[/tex3] e a perpendicular no ponto [tex3]K[/tex3] tangente a circunferencia média tal que:

[tex3]OE=a[/tex3] e [tex3]PK=b[/tex3]

Por trigonometria

[tex3]AK=bcot\theta[/tex3]

Fazendo [tex3]AN=m[/tex3] aplicaremos potencia de ponto:

[tex3]b^2cot^2\theta=m(m+2b)[/tex3]
[tex3]m^2+2bm-b^2cot^2\theta=0[/tex3]

[tex3]m=\frac{-2b+-\sqrt{4b^2-4b^2cot^2\theta}}{2}[/tex3]
[tex3]m=\frac{-2b+-\sqrt{4b^2(1-cot^2\theta)}}{2}[/tex3]
[tex3]m=\frac{-2b+-2b*cossec\theta}{2}[/tex3] como n queremos negativo
[tex3]m=b(cossec\theta-1)[/tex3] (confie...)

Trace a altura [tex3]HE[/tex3] e por trigonometria:
[tex3]HE=acos\theta[/tex3] e [tex3]OH=asen\theta[/tex3]

Pela ultima relação tiramos:
[tex3]QH=a-asen\theta[/tex3]
[tex3]QH=(1-sen\theta)[/tex3] (suspeite...)

Agora temos que [tex3]NH=2b[/tex3] MAS [tex3]NQ=2c[/tex3] então :
[tex3]QH=HN-NQ[/tex3]
[tex3]QH=2b-2c[/tex3] \theta

TAL QUE [tex3]2b-2c=a(1-sen\theta)[/tex3] (Acredite...)

Aplicando métrica no t [tex3]\Delta AEO[/tex3]

[tex3]a^2cos^2\theta=asen\theta(2b+m)[/tex3]
[tex3]acos^2\theta=sen\theta(2b+bcossec\theta-b)[/tex3]
[tex3]a=\frac{sen\theta * b(1+cossec\theta)}{cos^2\theta}[/tex3] (Acredite...)

[tex3]2b-2c=(1-sen\theta)*\frac{sen\theta * b(1+cossec\theta)}{cos^2\theta}[/tex3]
[tex3]2b-2c=b*(1-sen\theta)*\frac{sen\theta * (\frac{sen+1}{sen\theta})}{cos^2\theta}[/tex3]
[tex3]2b-2c=b*(1-sen\theta)*\frac{(sen+1)}{cos^2\theta}[/tex3]
[tex3]2b-2c=b*\frac{(1-sen^2\theta)}{cos^2\theta}[/tex3]
[tex3]2b-2c=b[/tex3]
[tex3]b=2c[/tex3] (TESTEMUNHEM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)

[tex3]PIMBADA!![/tex3]

Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - problema 24 Tópico resolvido

Geometria Plana - problema 24

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