Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense – 1989) Recenseador Tópico resolvido

[ALDRIN]

Moram com Paulo seu pai, sua esposa, seu filho e sua filha. Um recenseador ao chegar à casa de Paulo perguntou:
‘Qual a idade das pessoas que moram aqui?’. Paulo respondeu: ‘Todas as nossas idades, exceto a idade de meu pai que é um número primo, são quadrados perfeitos. Minha idade é a soma das idades de minha esposa, minha filha e meu filho. A idade de meu pai é a soma da minha idade com a idade de minha esposa e minha filha’. Ajude o recenseador a determinar as idades das pessoas que moram na casa de Paulo.
OBS: Suponha que nenhuma das pessoas envolvidas tenha mais que 120 anos.

[rean]

Solução:

Seja
p = idade do Paulo
m = idade da mulher do Paulo
x = idade do filho do Paulo
y = idade da filha do Paulo
z = idade do pai do Paulo

É dado pelo anuciado que:
p = m + x + y e z = p + m + y.

Podemos concluir que p [tex3]\geq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\geq[/tex3]

m se p = m,
deveríamos ter x = y = 0

(dois gêmeios recém-nascidos!!) mas nesse caso a idade do avô seria 2p, o que é um absurdo.
Logo admite que p [tex3]\gt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gt[/tex3]

m.

As idades p ,x y , m pertence ao conjunto {0,1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 64, 81, 100.}

devemos escolher 4 números desse conjunto tais que o maior dele seja iqual a soma dos outros tres.
Considerando todas as possibilidades, inclusive de filho da mesma idade, as possibilidades viáveis ( admitindo que a mãe deu a luz com mais de 15 anos ...) , são

(100, 64, 36, 0 ) , (81, 64, 16, 1) , (81,49, 16, 16) , (49, 36, 9, 4).

Nas tres primeiras possibilidade, a idade do avô seria maior que 120, que é um absurdo.

Na possibilidade(49,36,9,4) a idade do avô seria:
z = 49 + 36 + 9 = 94 ou z = 49 + 36 + 4 = 89.

como deve ser um primo, z = 89.

logo a única opção possivel é portanto:

p = idade do Paulo = 49
m =idade da mulher do Paulo = 36
x = idade do filho do Paulo = 9
y = idade da filha do Paulo = 4
z = idade do pai do Pailo = 89

espere ter ajudado, Rean