Olimpíadas ⇒ (OMC) Polinômio Tópico resolvido

[botelho]

Encontre o quociente da divisão de [tex3]a^{128} - b^{128}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{128} - b^{128}[/tex3]

por ([tex3]a^{64} + b^{64}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{64} + b^{64}[/tex3]

)([tex3]a^{32} + b^{32}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{32} + b^{32}[/tex3]

)([tex3]a^{16} + b^{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{16} + b^{16}[/tex3]

)([tex3]a^{8} + b^{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{8} + b^{8}[/tex3]

)([tex3]a^{4} + b^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{4} + b^{4}[/tex3]

)
([tex3]a^{2} + b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2} + b^{2}[/tex3]

)(a+b).
a)a-b
b)a+b
c)2a+1
d)1
e)2

Resposta

---

a

[MateusQqMD]

Olá, Botelho. Iremos usar sucessivas vezes que [tex3]x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)[/tex3]

Isto é,

[tex3]\begin{align}


a^{128} - b^{128} & = (a^{64} + b^{64})(a^{64} - b^{64}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{32} - b^{32}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{16} - b^{16}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{8} - b^{8}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{4} - b^{4}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a + b)(a - b)\\

\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}


a^{128} - b^{128} & = (a^{64} + b^{64})(a^{64} - b^{64}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{32} - b^{32}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{16} - b^{16}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{8} - b^{8}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{4} - b^{4}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2}) \\

& = (a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a + b)(a - b)\\

\end{align}[/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{a^{128} - b^{128}}{(a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a + b)} = a-b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{128} - b^{128}}{(a^{64} + b^{64})(a^{32} + b^{32})(a^{16} + b^{16})(a^{8} + b^{8})(a^{4} + b^{4})(a^{2} + b^{2})(a + b)} = a-b[/tex3]