Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Números reais

[GehSillva7]

Todo número real a pode ser escrito de forma única como a = [a] + {a}, em que [a] é inteiro e 0 [tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

{a} < 1. Chamamos [a] parte inteira de a e {a} parte fracionária de a.
Se x + [y] + {z} = 4,2, y + [z] + {x} = 3,6 e z + [x] + {y} = 2, quanto vale x - y + z?
a) -1
b) -0,5
c) 0
d) 0,5
e) 1

Resposta

---

b

[profish]

Tens que resolver um sistema:

x + [y] + {z} = 4,2 (1)
y + [z] + {x} = 3,6 (2)
z + [x] + {y} = 2 (3)

Soma todas equações (1) + (2) +(3):
x+y+z+[x]+{x}+[y]+{y}+[z]+{z} = 9,8
Como [x]+{x} = x, [y]+{y}=y e [z]+{z}=z, ficamos com: 2(x+y+z)=9,8 ou seja, x+y+z=4,9 (4)

Podemos abrir x = [x] +{x}, logo em (1):
[x] +[y] + {x} +{z} = 4,2
Existem dois casos possíveis, como {x} e {z} pertencem a [0,1[ e são a parte decimal, para ser coerente com o 0,2 ou {x}+{z}=0,2(a) ou {x}+{z}=1,2(b), daí no primeiro caso (a), [x] + [y] = 4 e no (b) [x] + [y] = 3

Vamos abrir agora y em (2):
[y] + [z] + {x} + {y} = 3,6
Então os casos para {x} + {y] são: (c) {x} + {y} = 0,6 e (d) {x} + {y} = 1,6, aí o caso (c) [y] + [z] = 3 e no caso (d) [y] + [z] = 2

Analogamente em (3):
(e) {z} + {y} = 0 e (f) {z} + {y} = 1
De (e) [x]+[z]=2 e de (f) [x]+[z]=1.

Agora basta ver quais casos são possíveis. Se (a) e (e) forem possíveis, isso implica que x+z=2,2 ou seja em (4) y=2,7. Mas como de (e) {z}+{y}=0 fica absurdo pois {y}=0,7.

Se (a) e (f) forem possíveis, isso implica x+z=1,2 logo y =3,7. Sendo assim {z}=0,3 pois {y}+{z}=1.
Agora de (c), [z]=0, logo z=0,3 e x=0,9, mas assim (f) é descumprido, pois [x]+[z]=1.
Agora de (d), [z]=-1, logo z=-1,3 e x = 2,5. Fechou pois [x]+[z]=1. Ainda de (d) {x}+{y}=1,6 isso é falso, então a solução está descartada.

Agora peguemos (b) e (e), se for assim x+z=3,2 logo y=1,7. Mas aí {z}+{y}=0 é absurdo.

Peguemos (b) e (f), se for assim x+z=2,2 logo y=2,7. Como {z}+{y}=1, {z}=0,3.
De (c), [z]=1 portanto z=1,3 e logo x=0,9. Isso fecha com [x]+[z]=1. Ainda {x}+{y}=0,6 e não bate. Então está descartado.
De (d), [z]=0 portanto z=0,3 e logo x=1,9. Isso fecha com [x]+[z]=1. Ainda {x}+{y}=1,6 e como {x}=0,9 e {y}=0,7 então fechou.

Solução: x=1,9/y=2,7/z=0,3. Portanto x-y+z=-0,5. Letra B

Tenho um canal no youtube que resolvo questões de exatas e provas militares, se quiser dar uma olhada e seguir:
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