Olimpíadas(OBM) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
botelho
Imperial
Mensagens: 799
Registrado em: Ter 27 Jun, 2017 19:38
Última visita: 23-03-24
Abr 2019 10 13:33

(OBM) Equação

Mensagem não lida por botelho »

Se x é real e positivo e 1+(x²+x)(x²+5x+6)=181², então o valor de x(x+3) é
a)180
b)150
c)120
d)182
e)75
Resposta

a

Última edição: botelho (Qua 10 Abr, 2019 13:35). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
agathaqueiroz
iniciante
Mensagens: 8
Registrado em: Qui 31 Mai, 2018 00:11
Última visita: 10-08-19
Abr 2019 10 14:00

Re: (OBM) Equação

Mensagem não lida por agathaqueiroz »

[tex3]1+(x^2 +x)(x^2+5x+6) = 181^2 [/tex3]

[tex3](x^2+x)(x+2)(x+3) = 181^2 -1^2 = (180)(182)[/tex3]

[tex3]x(x+1)(x+2)(x+3)=2^3.3^2.5.13.7[/tex3]
Perceba que o lado esquerdo da equação é o produto de 4 naturais consecutivos. Além disso, você pode rearranjar os números ao lado direito como [tex3](2^2.3)
13.(2.7).(5.3) = 12.13.14.15[/tex3] , logo:

[tex3]x(x+1)(x+2)(x+3) = 12.13.14.15[/tex3]

Então [tex3]x= 12, x+3= 15.[/tex3]
[tex3]12.15= 180[/tex3]

Última edição: agathaqueiroz (Qua 10 Abr, 2019 14:02). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
MateusQqMD
5 - Mestre
Mensagens: 2693
Registrado em: Qui 16 Ago, 2018 19:15
Última visita: 21-02-24
Localização: Fortaleza/CE
Abr 2019 10 14:08

Re: (OBM) Equação

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, Botelho. Outra solução:

Note que é possível fatorar a expressão dada no enunciado da seguinte forma:

[tex3]1 + (x^2+x)(x^2+5x+6)=181^2[/tex3]

[tex3]1 + x(x+1)(x+2)(x+3)=181^2[/tex3]

[tex3]x(x+1)(x+2)(x+3)=181^2 - 1[/tex3]

[tex3]x(x+1)(x+2)(x+3)=(181 - 1)(181 +1)[/tex3]

Mas perceba que [tex3]x(x+3) = x^2 + 3x[/tex3] e que [tex3](x+1)(x+2) = x^2 +3x +2[/tex3]

Daí,

[tex3](x^2 +3x)(x^2 +3x +2) = (181 - 1)(181 +1)[/tex3]

Faça [tex3](x^2 + 3x) = k [/tex3]

[tex3]k(k+2) = 180\cdot 182[/tex3]

De onde é fácil ver que [tex3]k = 180[/tex3] e [tex3]k = -182[/tex3] são as soluções da equação. A única solução real para [tex3]x[/tex3] ocorre quando [tex3]k = 180[/tex3] , que resulta em [tex3]x = 12[/tex3] e [tex3]x = -15[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (OBM) Equação
    por AngelitaB » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    975 Exibições
    Última msg por undefinied3
  • Nova mensagem (OBM-2016-N2)Equação
    por AngelitaB » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    443 Exibições
    Última msg por παθμ
  • Nova mensagem Obm-1°fase
    por CmMs03 » » em Ensino Médio
    0 Respostas
    674 Exibições
    Última msg por CmMs03
  • Nova mensagem OBM-2007
    por Cobrakai » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    978 Exibições
    Última msg por joaopcarv
  • Nova mensagem OBM-(2009)
    por Cobrakai » » em Olimpíadas
    4 Respostas
    1249 Exibições
    Última msg por csmarcelo

Voltar para “Olimpíadas”