Olimpíadas(Grécia-2008) Fatoração

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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botelho
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(Grécia-2008) Fatoração

Mensagem não lida por botelho »

Encontre o maior positivo x para o qual o qual A=[tex3]2^{182} + 4^{x} + 8^{700}[/tex3] é um quadrado perfeito.
a)2008
b)2009
c)2010
d)2011
e)2012
Resposta

a




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snooplammer
4 - Sabe Tudo
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Re: (Grécia-2008) Fatoração

Mensagem não lida por snooplammer »

Me parece que sai por aquelas bizarrices da aritmética modular, kkkkkjj




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agathaqueiroz
iniciante
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Abr 2019 10 01:15

Re: (Grécia-2008) Fatoração

Mensagem não lida por agathaqueiroz »

[tex3]A = 2^{182} + 4^x + 8^{700}[/tex3]

[tex3]= (2^{91})^2 + 2^{2x} + (2^3)^{700}[/tex3]

[tex3]= (2^{91})^2 + (2^x)^2 + 2.2^{91}.2^{x}
[/tex3]

Do trinômio quadrado perfeito, [tex3](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [/tex3] , então [tex3]1+91+x = 2100 [/tex3] , logo, [tex3]x= 2008 [/tex3] .
Penso que o resultado esteja relacionado ao ano da prova, eles sempre têm disso ;)

Última edição: agathaqueiroz (Qua 10 Abr, 2019 01:17). Total de 1 vez.



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