Olimpíadas ⇒ Aritmética Tópico resolvido
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Hanon 
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Abr 2019
05
10:26
Aritmética
Mostre que existe um múltiplo de 1997 que tem todos os dígitos iguais a 1.
Abr 2019
05
11:47
Re: Aritmética
Um número que tem todos os dígitos iguais a 1 é da forma: [tex3]\frac{10^n-1}{9}[/tex3]
Percebendo que [tex3]mdc(9,1997)=1 [/tex3] , queremos: [tex3]10^n \equiv 1 \mod(1997) [/tex3]
Mas 1997 é primo, então pelo pequeno teorema de fermat: [tex3]10^{1997-1} \equiv 1 \mod(1997) [/tex3]
Assim, uma solução para a questão é [tex3]\boxed{\frac{10^{1996}-1}{9}}[/tex3]
Percebendo que [tex3]mdc(9,1997)=1 [/tex3] , queremos: [tex3]10^n \equiv 1 \mod(1997) [/tex3]
Mas 1997 é primo, então pelo pequeno teorema de fermat: [tex3]10^{1997-1} \equiv 1 \mod(1997) [/tex3]
Assim, uma solução para a questão é [tex3]\boxed{\frac{10^{1996}-1}{9}}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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