Olimpíadas(OBM - 2006) Múltiplos

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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GehSillva7
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(OBM - 2006) Múltiplos

Mensagem não lida por GehSillva7 »

O inteiro positivo x é múltiplo de 2006 e [tex3]\sqrt{x}[/tex3] está entre 2005 e 2007. Qual é o número de possíveis valores de x?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resposta

4




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Ittalo25
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Re: (OBM - 2006) Múltiplos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]2005^2 \leq x \leq 2007^2[/tex3]

O número de múltiplos de 2006 nesse intervalo é dado por:

[tex3]\left \lfloor{ \frac{2007^2 - 2005^2}{2006}}\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{2\cdot 4012}{2006}}\right \rfloor = \boxed{4}[/tex3]

Então são 4 possibilidades.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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Ittalo25
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Re: (OBM - 2006) Múltiplos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Prova da propriedade usada:

Sejam os k múltiplos de b no intervalo c, então:

[tex3]\{b,2b,3b,...,kb\}\subset \{1,2,3,...,c\} [/tex3]

Assim obviamente [tex3](k+1)b \notin \{1,2,3,...,c\} [/tex3]

Ou seja: [tex3]kb \leq c <(k+1)b \rightarrow k \leq \frac{c}{b} \leq k+1[/tex3]

Assim: [tex3]\left \lfloor{ \frac{c}{b}}\right \rfloor = k [/tex3]


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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csmarcelo
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Re: (OBM - 2006) Múltiplos

Mensagem não lida por csmarcelo »

Ittalo25, essa fórmula não funcionará para todos os casos.

Por exemplo, entre [tex3]2005^2-1[/tex3] (que é múltiplo de 2006) e [tex3]2007^2[/tex3] , temos 5 múltiplos de 2006 e não apenas 4, resultado de [tex3]\left\lfloor{\frac{2007^2-(2005^2-1)}{2006}}\right\rfloor[/tex3] .

Se o intervalo for [tex3][c_1,c_2][/tex3] , devemos arredondar [tex3]c_1[/tex3] para o menor múltiplo de [tex3]b[/tex3] maior ou igual a [tex3]c_1[/tex3] (digamos [tex3]c'_1[/tex3] ) e [tex3]c_2[/tex3] para o maior múltiplo de [tex3]b[/tex3] menor ou igual a [tex3]c_2[/tex3] (digamos
[tex3]c'_2[/tex3] ).

Daí

[tex3]k=\frac{c'_2-c'_1}{b}+1[/tex3]

Só me pergunto como achar [tex3]c'_1[/tex3] e [tex3]c'_2[/tex3] nesse caso.

Última edição: csmarcelo (Qui 28 Mar, 2019 05:42). Total de 1 vez.



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