a) 2;
b) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] ;
c) 3;
d)[tex3]\frac{7}{2}[/tex3] ;
e) 4.
Resposta
letra D
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Americana) Logaritmo Tópico resolvido
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rumoafa
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Mar 2019
19
17:04
(Olimpíada Americana) Logaritmo
Suponha que [tex3]4^{x1}[/tex3]
=5, [tex3]5^{x2}[/tex3]
=6, [tex3]6^{x3}[/tex3]
=7,..., [tex3]127^{x124}[/tex3]
=128. Qual o valor de x1.x2.x3.....x124?
a) 2;
b) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] ;
c) 3;
d)[tex3]\frac{7}{2}[/tex3] ;
e) 4.
letra D
Desde já agradeço!
a) 2;
b) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] ;
c) 3;
d)[tex3]\frac{7}{2}[/tex3] ;
e) 4.
letra D
-
csmarcelo
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Mar 2019
19
17:59
Re: (Olimpíada Americana) Logaritmo
De trás para frente...
[tex3]\cancel{217}127^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(126^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(125^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
...
[tex3]\(\(\(\(6^{x_{3}}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(5^{x_{2}}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(\(4^{x_{1}}\)^{x_2}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
Pela propriedade dos exponenciais a expressão acima equivale a
[tex3]4^{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}}=128[/tex3]
Igualando as bases
[tex3]2^{2(x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124})}=2^{7}[/tex3]
Daí
[tex3]2x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=7[/tex3]
Portanto
[tex3]x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=\frac{7}{2}[/tex3]
[tex3]\cancel{217}127^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(126^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(125^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
...
[tex3]\(\(\(\(6^{x_{3}}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(5^{x_{2}}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(\(4^{x_{1}}\)^{x_2}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
Pela propriedade dos exponenciais a expressão acima equivale a
[tex3]4^{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}}=128[/tex3]
Igualando as bases
[tex3]2^{2(x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124})}=2^{7}[/tex3]
Daí
[tex3]2x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=7[/tex3]
Portanto
[tex3]x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=\frac{7}{2}[/tex3]
Editado pela última vez por csmarcelo em 19 Mar 2019, 18:13, em um total de 1 vez.
-
ALANSILVA
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Mar 2019
19
18:13
Re: (Olimpíada Americana) Logaritmo
[tex3]127^{x124}[/tex3]
ou [tex3]217^{x124}[/tex3]
???
Editado pela última vez por ALANSILVA em 19 Mar 2019, 18:13, em um total de 1 vez.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
-
csmarcelo
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NathanMoreira
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Fev 2021
19
17:18
Re: (Olimpíada Americana) Logaritmo
Olá, sei que o tópico é antigo, mas pensei em uma solução interessante para o problema:
Perceba a seguinte regularidade:
[tex3]4^{x_1}=5[/tex3]
Aplicando logaritmo na base 2 de ambos os lados:
[tex3]\log_{2}4^{x_1}=\log_{2}5 [/tex3]
[tex3]x_1=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}[/tex3]
O mesmo acontecerá para todos os outros, seguindo o seguinte padrão:
[tex3]x_2=\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}[/tex3]
[tex3]x_3=\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]x_{124}=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]
Perceba que, então, ao multiplicarmos [tex3]x_{1}.x_{2}.x_{3}.{\color{red}...}.x_{123}.x_{124}[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}.\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}.\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}{\color{red}...}\frac{\log_{2}127}{\log_{2}126} .\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]
Perceba que poderemos simplificar:
[tex3]\frac{\cancel{\log_{2}5}}{\log_{2}4}.\frac{\cancel{\log_{2}6}}{\cancel{\log_{2}5}}.\frac{\cancel{\log_{2}7}}{\cancel{\log_{2}6}}{\color{red}...}\frac{\cancel{\log_{2}127}}{\cancel{\log_{2}126}} .\frac{\log_{2}128}{\cancel{\log_{2}127}}[/tex3]
Sobrando apenas:
[tex3]=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}4}[/tex3]
[tex3]=\frac{7}{2}[/tex3]
Alternativa D.
Perceba a seguinte regularidade:
[tex3]4^{x_1}=5[/tex3]
Aplicando logaritmo na base 2 de ambos os lados:
[tex3]\log_{2}4^{x_1}=\log_{2}5 [/tex3]
[tex3]x_1=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}[/tex3]
O mesmo acontecerá para todos os outros, seguindo o seguinte padrão:
[tex3]x_2=\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}[/tex3]
[tex3]x_3=\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]x_{124}=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]
Perceba que, então, ao multiplicarmos [tex3]x_{1}.x_{2}.x_{3}.{\color{red}...}.x_{123}.x_{124}[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}.\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}.\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}{\color{red}...}\frac{\log_{2}127}{\log_{2}126} .\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]
Perceba que poderemos simplificar:
[tex3]\frac{\cancel{\log_{2}5}}{\log_{2}4}.\frac{\cancel{\log_{2}6}}{\cancel{\log_{2}5}}.\frac{\cancel{\log_{2}7}}{\cancel{\log_{2}6}}{\color{red}...}\frac{\cancel{\log_{2}127}}{\cancel{\log_{2}126}} .\frac{\log_{2}128}{\cancel{\log_{2}127}}[/tex3]
Sobrando apenas:
[tex3]=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}4}[/tex3]
[tex3]=\frac{7}{2}[/tex3]
Alternativa D.
Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:
Whatsapp: (18) 99164-4128
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