Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Americana) Logaritmo Tópico resolvido

[rumoafa]

Para todo inteiro positivo n, seja f(n) = [tex3]\log_{2002}n^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2002}n^{2}[/tex3]

. Seja N = f(11) + f(13) + f(14) , qual das seguintes operações é verdadeira?

a) N < 1;

b) N=1;

c) 1< N < 2 ;

d) N=2;

e) N > 2.

Resposta

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letra D

Desde já agradeço!

[MateusQqMD]

Olá,

Uma ideia é manipular a expressão dada e analisar o resultado obtido

Veja que

[tex3]N = f(11) + f(13) + f(14)[/tex3]

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[tex3]N = f(11) + f(13) + f(14)[/tex3]

[tex3]N = \log_{2002} \, 11^2 + \log_{2002} \, 13^2 + \log_{2002} \, 14^2 [/tex3]

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[tex3]N = \log_{2002} \, 11^2 + \log_{2002} \, 13^2 + \log_{2002} \, 14^2 [/tex3]

Pela propriedade dos logaritmos,

[tex3]N = \log_{2002} \, 11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2 [/tex3]

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[tex3]N = \log_{2002} \, 11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2 [/tex3]

Ou seja,

[tex3]2002^N = 11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2[/tex3]

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[tex3]2002^N = 11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2[/tex3]

Assim, uma boa estratégia, agora, é fatorar o 2002 para analisar a alternativa correta. Fazendo isso, tem-se que [tex3]2002 = 11 \cdot 13 \cdot 14[/tex3]

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[tex3]2002 = 11 \cdot 13 \cdot 14[/tex3]

, o que implica [tex3]N = 2[/tex3]

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[tex3]N = 2[/tex3]